41.把数组排成最小的数

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问题描述：输入一个正整数数组，将它们连接起来排成一个数，输出能排出的所有数字中最小的一个。例如输入数组{3，32,  321}，则输出这两个能排成的最小数字321323。请给出解决问题的算法，并证明该算法。

思路：先将整数数组转为字符串数组，然后字符串数组进行排序，最后依次输出字符串数组即可。这里注意的是字符串的比较函数需要重新定义，不是比较a和b，而是比较ab与 ba。如果ab < ba，则a < b；如果ab > ba，则a > b；如果ab = ba，则a = b。比较函数的定义是本解决方案的关键。

结论：根据算法，如果a < b，那么a排在b前面，否则b排在a前面。

如何证明？

证明比较两个数字大小规则是有效的。

证明根据这种规则组合的数字是最小的。

1.证明比较两个数字大小规则是有效的。

一个有效的比较需要三个条件：

（1）自反性，即a等于a；

（2）对称性，即如果a大于b，则b小于a；

（3）传递性，即如果a小于b，b小于c，则a小于c。

现在分别予以证明。

（1）自反性。显然有aa=aa，所以a等于a。

（2）对称性。如果a小于b，则ab<ba，所以ba>ab。因此b大于a。

（3）传递性。 如果a小于b，则ab<ba；如果b小于c，则bc<cb。

举个例子a=1,b=23,c=345。

设a、b、c用十进制表示的时候分别为x位、y位、z位。则ab= a×10^y+b，ba=b×10^x+a;

则由ab<ba推出a×10^y+b< b×10^x+a，即a/(10^x-1)<b/(10^y -1)【结果1】。

同理由bc<cb推出b×10^z+c< c×10^y+b，即b/(10^y-1)<c/(10^z -1)【结果2】。

由【结果1】和【结果2】得到a/(10^x-1)< c/(10^z -1)【结果3】。由【结果3】得到ac<ca，即a小于c。

2.证明根据这种规则组合的数字是最小的。

我们把n个数按照前面的排序规则排好顺序之后，表示为F(n)=A1A2A3…An，则F(n)一定是最小的。

反证法证明：

假设这样排出来的两个数并不是最小的。即至少存在两个x和y（1<=x<y<=n），交换第x个数和地y个数后，使得A1A2…Ay…Ax…An<A1A2…Ax…Ay…An【原结论】。

设F(n)= A1A2…Ax…Ay…An。

因为Ay-1Ay<AyAy-1，则F(n)= A1A2…Ax…Ay…An< A1A2…AxAx+1…AyAy-1…An。同理不断将Ay左移，得到F(n)< A1A2…AyAxAx+1…Ay-2Ay-1…An。

因为AxAx+1<Ax+1Ax,则F(n)< A1A2…AyAx+1AxAx+2…Ay-2Ay-1…An。同理不断将Ax右移，得到F(n)< A1A2…AyAx+1Ax+2…Ay-2Ay-1Ax…An。

即F(n)=A1A2…Ax…Ay…An<A1A2…Ay…Ax…An【反证法得出的结论】。

【反证法得出的结论】与【原结论】相矛盾，所以假设不成立，原结论正确，即把n个数按照前面的排序规则排好顺序之后，表示为F(n)=A1A2A3…An，则F(n)一定是最小的。

代码如下：

#include <iostream> // cin cout
#include <string> // string
#include <sstream> // stringstream
#include <algorithm> // sort
using namespace std;

bool compare(const string& str1, const string &str2)
{
    string s1=str1+str2;
    string s2=str2+str1;
    return s1<s2;
}

void SortArrayToMinValue(int *data,int length)
{
    if(NULL==data||length<=0)
        return;
    string *strData = new string[length];
    //convert int to string
    for (int i=0;i<length;++i)
    {
        stringstream ss;
        ss<<data[i];
        ss>>strData[i];
    }
    // sort string array with user-defined compare function
    sort(strData,strData+length,compare);

    // print string array
    for (int i=0;i<length;i++)
    {
        cout<<strData[i];
    }
    cout<<endl;

    // free memory
    delete []strData;
    strData = NULL;
}

void test_case()
{
    int data[] = {3,32,321};
    int length = sizeof(data)/sizeof(int);
    SortArrayToMinValue(data,length);

    int data2[] = {456,23,1};
    int length2 = sizeof(data2)/sizeof(int);
    SortArrayToMinValue(data2,length2);
}

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
    test_case();
    return 0;
}

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41.把数组排成最小的数

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