[再寄小读者之数学篇](2014-05-20 一个分部积分)

时间：2014-05-21 19:49:23 阅读：276 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

\int △ f | f | q ? 2 f d x = ? \int ? f ? [(q ? 2) | f | q ? 3 f | f | ? f ? f + | f | q ? 2 ? f] d x = ? \int (q ? 2) | f | q ? 4 | f | 2 | ? f | 2 + | f | q ? 2 | ? f | d x = ? (q ? 1) \int | f | q ? 2 | ? f | 2 d x = ? (q ? 1) \int | f | q ? 2 | ? | f | | 2 d x (? | f | = f | f | ? f) = ? (q ? 1) \int | | f | q 2 ? 1 ? | f | | 2 d x = ? 4 ( q ? 1 ) q 2 \int | ? | f | q 2 | 2 d x .

$\beex \bea \int \lap f|f|^{q-2}f\rd x &=-\int \n f\cdot \sez{(q-2)|f|^{q-3}\cfrac{f}{|f|}\n f\cdot f +|f|^{q-2}\n f}\rd x\\ &=-\int (q-2)|f|^{q-4}|f|^2|\n f|^2 +|f|^{q-2}|\n f|\rd x\\ &=-(q-1)\int |f|^{q-2}|\n f|^2\rd x\\ &=-(q-1)\int |f|^{q-2}|\n |f||^2\rd x\quad\sex{\n|f|=\cfrac{f}{|f|}\n f}\\ &=-(q-1)\int | |f|^{\frac{q}{2}-1}\n |f| |^2\rd x\\ &=-\cfrac{4(q-1)}{q^2} \int| \n |f|^{\frac{q}{2}} |^2\rd x. \eea \eeex$

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