yzoi1777倒水问题的详细解法

时间：2014-12-13 17:49:42 阅读：257 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

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Description - 问题描述

x、y、z三个容器，其最大容量分别是xMAX升、yMAX升、zMAX升，这里规定100>xMAX>yMAX>zMAX。一开始x是装满了水的，现在要用这三个没有刻度的容器量出n升水来，请打印出最少的量取步骤。

Input - 输入数据

输入只有一行，即4个整数：

xMax yMax zMax n

其中100>xMax>yMax>zMax，n<100

Output - 输出数据

对于每个测试数据，输出其倒水步骤，如果步骤只有一步，step不加s请参考Sample Output，无解的话输出“No Solution”

算法分析

　　首先，我们需要考虑倒出者和接收者的可能分别为x->y,x->z（前提是x>0);y->x,y->z（前提是y>0);z->x,z->y（前提是z>0)共6种可能，接下来我们便对其进行详细分析。

①x->y时

前提：if（x>0),接着，我们要考虑的就是当将x中所有水倒入y中，是否已经超过了y的容量，代码如下

 1           if(x>0)
 2           {
 3               if(x+y>ymax)
 4               {
 5                   x=x-(ymax-y);//将x中所有水倒入y中时已超出y的最大容量
 6                   y=ymax;
 7               }
 8               else
 9               {
10                  y=x+y;//将x中所有水倒入y中后未超过其最大容量
11                 x=0;//即x中的水全部倒入y中，x变为空
12              }
13          }

②x->z时

前提：if(x>0)这时，我们可以将x->z的过程类比成x->y的过程，其实际上的过程是一样的，代码如下：

 1         if(x>0)
 2         {
 3             if(x+z>zmax)
 4             {
 5                 x=x-(zmax-z);//z容器倒满
 6                 z=zmax;
 7             }
 8             else
 9             {
10                 z=z+x;//x倒空
11                 x=0;
12             }
13         }

③y->x时

前提：if(y>0),这是，我们还要不要像以前那样考虑y会不会倒空，已及x会不会倒满呢？其答案是否定的，为什么呢？你可以设想：在整个装置（包括x，y以及z）中，其总水量之和为xmax。故不管y如何倒都不会使x>xmax，代码如下：

1         if(y>0)
2         {
3             x=x+y;//y倒空
4             y=0;
5         }

④y->z时,同x->y

⑤z->x时,同y->x

⑥z->y,这里也是同y->x吗？其实不然，当y->x时，无论如何都不会使x>xmax。但当z->y时却有可能使y>ymax，很多人都跳入了这个坑里，导致最终程序不能ac。经过仔细思考之后，其实可以知道这是和x->y一样的。代码如下：

 1             if(z>0)
 2         {
 3             if(z+y>ymax)
 4             {
 5                 z=z-(ymax-y);
 6                 y=ymax;
 7             }
 8             else
 9             {
10                 y=y+z;
11                 z=0;
12             }
13         }

　　在对倒水的过程进行详细分析之后，最重要的便是算法的构造。仔细分析可以知道，这道题是要求我们分析倒水的每种情况，然后找出最优解。毫无疑问，这便是bfs的思路。可能有些人不了解或对bfs接触较少，这里给上百度对其的解释以助理解：

BFS一般指宽度优先搜索，宽度优先搜索算法（又称广度优先搜索）是最简便的图的搜索算法之一，这一算法也是很多重要的图的算法的原型。Dijkstra单源最短路径算法和Prim最小生成树算法都采用了和宽度优先搜索类似的思想。其别名又叫BFS，属于一种盲目搜寻法，目的是系统地展开并检查图中的所有节点，以找寻结果。换句话说，它并不考虑结果的可能位置，彻底地搜索整张图，直到找到结果为止。而在这个问题中，我们使用队列（queue）来实现之。

　　首先，假设我们已经定义了一个队列q，如下所示

struct node
{
    int qx,qy,qz;
    int pre;
} q[maxn];

其中qx，qy，qz表示当前各个装置中水的含量，而对于pre，相信大多数人都会纳闷：这是用来干什么的呢？其实，当你仔细阅读题目便可知道，它不仅要求输出最少次数，还得打印出每倒一次水的步骤，这里的pre便是用以存储当前状态所对应的上一个状态，到最后输出时，只需沿着pre进行输出即可。

每倒一次水，就想当于产生了一个新的状态，于是就要判断这个状态是否已达到目标。因此每倒一次水，就要调用一次push过程，将新状态入队，然后判断队尾元素是否已是解，push的代码如下：

 1 void push()
 2 {
 3     bool can_push=true;
 4     for(int i=1;i<=rear;i++)
 5     {
 6         if(q[i].qx==x&&q[i].qy==y&&q[i].qz==z)
 7         {
 8             can_push=false;
 9             return;
10         }
11     }
12     if(can_push)
13     {
14         rear++;
15         q[rear].qx=x;
16         q[rear].qy=y;
17         q[rear].qz=z;
18         q[rear].pre=front;
19     }
20 }

同时，在倒水时如果先前已经出现了与当前状态一致的状态，那还要不要继续倒呢？显然，答案是否定的，而这里的bool型变量can_push正是帮助完成了这一点.

在倒完水后，我们还需判断是否达到了目标状态，如果达到了就跳出循环，然后输出过程，代码如下：

void is_target()
{
    if(q[rear].qx==n||q[rear].qy==n||q[rear].qz==n)
        flag=true;
    else
        flag=false;
}

细心的人可能会发现：在模拟倒水过程时的x，y，z三个变量是哪来的呢？以是，我们还得写个取队首元素的函数，代码如下;

void initial()
{
    x=q[front].qx;
    y=q[front].qy;
    z=q[front].qz;
    
}

最后，我们再将刚刚模拟过的6种情况写下，再加一个while循环便可完成任务。接下来还有一点值得思考：这里的while循环的条件是什么。还记得题目中给出的“No Solution”吗。是的，在最后跳出循环后我们还得加一条is_target()以判断是否有解。经过这样的分析后，while执行的条件便是队列是否为空is_empty()。倒水总过程的代码如下：

  1 void pour()
  2 {
  3     while(front <= rear)
  4     {
  5         initial();
  6         //x->y
  7         if(x>0)
  8         {
  9             if(x+y>ymax)
 10             {
 11                 x=x-(ymax-y);
 12                 y=ymax;
 13             }
 14             else
 15             {
 16                 y=x+y;
 17                 x=0;
 18             }
 19         }
 20         push();
 21         is_target();
 22         if(flag)
 23             break;
 24         //x->z
 25         initial();
 26         if(x>0)
 27         {
 28             if(x+z>zmax)
 29             {
 30                 x=x-(zmax-z);
 31                 z=zmax;
 32             }
 33             else
 34             {
 35                 z=z+x;
 36                 x=0;
 37             }
 38         }
 39         push();
 40         is_target();
 41         if(flag)
 42             break;
 43         //y->x
 44         initial();
 45         if(y>0)
 46         {
 47             x=x+y;
 48             y=0;
 49         }
 50         push();
 51         is_target();
 52         if(flag)
 53             break;
 54         //y->z
 55         initial();
 56         if(y>0)
 57         {
 58             if(y+z>zmax)
 59             {
 60                 y=y-(zmax-z);
 61                 z=zmax;
 62             }
 63             else
 64             {
 65                 z=y+z;
 66                 y=0;
 67             }
 68         }
 69         push();
 70         is_target();
 71         if(flag)
 72             break;
 73         //z->x
 74         initial();
 75         if(z>0)
 76         {
 77             x=x+z;
 78             z=0;
 79         }
 80         push();
 81         is_target();
 82         if(flag)
 83             break;
 84         //z->y
 85         initial();
 86         if(z>0)
 87         {
 88             if(z+y>ymax)
 89             {
 90                 z=z-(ymax-y);
 91                 y=ymax;
 92             }
 93             else
 94             {
 95                 y=y+z;
 96                 z=0;
 97             }
 98         }
 99         push();
100         is_target();
101         if(flag)
102             break;        
103         front++;                    
104     }
105 }

还有一点要补充的就是这题也可以用STL里的queue来做，这样便可省去自己写队列的麻烦。

最后，给上OJ上ac的代码，仅供参考：

  1 /*
  2     Name: lwq
  3     Copyright: 
  4     Author: 
  5     Date: 07/12/14 00:57
  6     Description: 1777
  7 */
  8 
  9 #include<iostream>
 10 using namespace std;
 11 const int maxn=10000+10;
 12 int front,rear; 
 13 int xmax,ymax,zmax;
 14 int n;
 15 int x,y,z;
 16 int step=0;
 17 int k=0;
 18 bool flag=false;
 19 struct node
 20 {
 21     int qx,qy,qz;
 22     int pre;
 23 } q[maxn];
 24 struct node_data
 25 {
 26     int x,y,z;
 27 }data[maxn];
 28 void is_target()
 29 {
 30     if(q[rear].qx==n||q[rear].qy==n||q[rear].qz==n)
 31         flag=true;
 32     else
 33         flag=false;
 34 }
 35 void initial()
 36 {
 37     x=q[front].qx;
 38     y=q[front].qy;
 39     z=q[front].qz;
 40     
 41 }
 42 void push()
 43 {
 44     bool can_push=true;
 45     for(int i=1;i<=rear;i++)
 46     {
 47         if(q[i].qx==x&&q[i].qy==y&&q[i].qz==z)
 48         {
 49             can_push=false;
 50             return;
 51         }
 52     }
 53     if(can_push)
 54     {
 55         rear++;
 56         q[rear].qx=x;
 57         q[rear].qy=y;
 58         q[rear].qz=z;
 59         q[rear].pre=front;
 60     }
 61 } 
 62 void pour()
 63 {
 64     while(front <= rear)
 65     {
 66         initial();
 67         //x->y
 68         if(x>0)
 69         {
 70             if(x+y>ymax)
 71             {
 72                 x=x-(ymax-y);
 73                 y=ymax;
 74             }
 75             else
 76             {
 77                 y=x+y;
 78                 x=0;
 79             }
 80         }
 81         push();
 82         is_target();
 83         if(flag)
 84             break;
 85         //x->z
 86         initial();
 87         if(x>0)
 88         {
 89             if(x+z>zmax)
 90             {
 91                 x=x-(zmax-z);
 92                 z=zmax;
 93             }
 94             else
 95             {
 96                 z=z+x;
 97                 x=0;
 98             }
 99         }
100         push();
101         is_target();
102         if(flag)
103             break;
104         //y->x
105         initial();
106         if(y>0)
107         {
108             x=x+y;
109             y=0;
110         }
111         push();
112         is_target();
113         if(flag)
114             break;
115         //y->z
116         initial();
117         if(y>0)
118         {
119             if(y+z>zmax)
120             {
121                 y=y-(zmax-z);
122                 z=zmax;
123             }
124             else
125             {
126                 z=y+z;
127                 y=0;
128             }
129         }
130         push();
131         is_target();
132         if(flag)
133             break;
134         //z->x
135         initial();
136         if(z>0)
137         {
138             x=x+z;
139             z=0;
140         }
141         push();
142         is_target();
143         if(flag)
144             break;
145         //z->y
146         initial();
147         if(z>0)
148         {
149             if(z+y>ymax)
150             {
151                 z=z-(ymax-y);
152                 y=ymax;
153             }
154             else
155             {
156                 y=y+z;
157                 z=0;
158             }
159         }
160         push();
161         is_target();
162         if(flag)
163             break;        
164         front++;                    
165     }
166 }
167 int main()
168 {
169     front=1,rear=1;
170     cin>>xmax>>ymax>>zmax;
171     cin>>n;
172     q[front].qx=xmax;
173     q[front].qy=0;
174     q[front].qz=0;
175     pour();
176     
177     
178     if(flag)
179     {
180     
181     
182     while(q[rear].pre>0)
183     {
184         k++;
185         data[k].x=q[rear].qx;
186         data[k].y=q[rear].qy;
187         data[k].z=q[rear].qz;
188         rear=q[rear].pre;
189     }
190     if(k>1)
191         cout<<k<<‘ ‘<<"steps"<<endl;
192     else
193         cout<<k<<‘ ‘<<"step"<<endl;
194     cout<<"step0:"<<‘ ‘<<xmax<<‘ ‘<<‘0‘<<‘ ‘<<‘0‘<<endl;
195     for(int i=k;i>=1;i--)
196     {
197         cout<<"step"<<k-i+1<<‘:‘<<‘ ‘<<data[i].x<<‘ ‘<<data[i].y<<‘ ‘<<data[i].z<<endl; 
198     }
199     }
200     else
201     {
202         cout<<"No Solution"<<endl;
203     }
204     return 0;
205 }

最后，还要感谢YYL大神的不啬指教以及xaero的ppt。

这是我的第一篇博文，欢迎各位大神的指点。

yzoi1777倒水问题的详细解法

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