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约瑟夫环

时间:2014-12-16 20:40:53      阅读:190      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:style   blog   ar   io   color   sp   for   on   数据   

约瑟夫环

 

n个数字(0,1,…,n-1)形成一个圆圈,从数字0开始,每次从这个圆圈中删除第m个数字(第一个为当前数字本身,第二个为当前数字的下一个数字)。当一个数字删除后,从被删除数字的下一个继续删除第m个数字。求出在这个圆圈中剩下的最后一个数字。

很自然的想法是我们用一个数据结构来模拟这个圆圈。在常用的数据结构中,我们很容易想到用环形列表。我们可以创建一个总共有m个数字的环形列表,然后每次从这个列表中删除第m个元素。

 

下面我们用STL的list来模拟环形列表的结构:

int LastRemaining_Solution1(unsigned int n, unsigned int m)
{
    // invalid input
    if(n < 1 || m < 1) return -1; 

    unsigned int i = 0;

    // initiate a list with n integers (0, 1, ... n - 1)
    list<int> integers;
    for(i = 0; i < n; ++i)
        integers.push_back(i);

    list<int>::iterator curinteger = integers.begin();

    while (integers.size() > 1) {

        // find the mth integer. Note that std::list is not a circle
        // so we should handle it manually
        for(int i = 1; i < m; ++i) {
            curinteger++;
            if (curinteger == integers.end())
                curinteger = integers.begin();
        }   

        // remove the mth integer. Note that std::list is not a circle
        // so we should handle it manually
        list<int>::iterator nextinteger = ++curinteger;
        if (nextinteger == integers.end()) {
            nextinteger = integers.begin();
        }   

        integers.erase(--curinteger);
        curinteger = nextinteger;
    }   

    return *(curinteger);
}


int main()
{

    int last;
    last = LastRemaining_Solution1(100, 7); 
    cout<<"Last Remaining Number is: "<< last << endl;
}

 

上面的方法需要一个有n个结点的环形列表来模拟这个删除的过程,因此内存开销为O(n)。而且这种方法每删除一个数字需要m步运算,总共有n个数字,因此总的时间复杂度是O(mn)。当m和n都很大的时候,这种方法是很慢的。

接下来我们试着从数学上分析出一些规律。首先定义最初的n个数字(0,1,…,n-1)中最后剩下的数字是关于n和m的方程为f(n,m)。

在这n个数字中,第一个被删除的数字是(m-1)%n,为简单起见记为k。那么删除k之后的剩下n-1的数字为0,1,…,k-1,k+1,…,n-1,并且下一个开始计数的数字是k+1。相当于在剩下的序列中,k+1排到最前面,从而形成序列k+1,…,n-1,0,…k-1。该序列最后剩下的数字也应该是关于n和m的函数。由于这个序列的规律和前面最初的序列不一样(最初的序列是从0开始的连续序列),因此该函数不同于前面函数,记为f’(n-1,m)。最初序列最后剩下的数字f(n,m)一定是剩下序列的最后剩下数字f’(n-1,m),所以f(n,m)=f’(n-1,m)。

接下来我们把剩下的的这n-1个数字的序列k+1,…,n-1,0,…k-1作一个映射,映射的结果是形成一个从0到n-2的序列:

k+1    ->    0
k+2    ->    1

n-1    ->    n-k-2
0   ->    n-k-1

k-1   ->   n-2

把映射定义为p,则p(x)= (x-k-1)%n,即如果映射前的数字是x,则映射后的数字是(x-k-1)%n。对应的逆映射是p-1(x)=(x+k+1)%n。

由于映射之后的序列和最初的序列有同样的形式,都是从0开始的连续序列,因此仍然可以用函数f来表示,记为f(n-1,m)。根据我们的映射规则,映射之前的序列最后剩下的数字f’(n-1,m)= p-1 [f(n-1,m)]=[f(n-1,m)+k+1]%n。把k=(m-1)%n代入得到f(n,m)=f’(n-1,m)=[f(n-1,m)+m]%n。

经过上面复杂的分析,我们终于找到一个递归的公式。要得到n个数字的序列的最后剩下的数字,只需要得到n-1个数字的序列的最后剩下的数字,并可以依此类推。当n=1时,也就是序列中开始只有一个数字0,那么很显然最后剩下的数字就是0。我们把这种关系表示为:

         0                  n=1
f(n,m)={
         [f(n-1,m)+m]%n     n>1

尽管得到这个公式的分析过程非常复杂,但它用递归或者循环都很容易实现。最重要的是,这是一种时间复杂度为O(n),空间复杂度为O(1)的方法,因此无论在时间上还是空间上都优于前面的思路。

 

int LastRemaining_Solution2(int n, unsigned int m)
{
    // invalid input
    if(n <= 0 || m < 0)
        return -1; 

    // if there are only one integer in the circle initially,
    // of course the last remaining one is 0
    int lastinteger = 0;

    // find the last remaining one in the circle with n integers
    for (int i = 2; i <= n; i ++) 
        lastinteger = (lastinteger + m) % i;

    return lastinteger;
}

 

约瑟夫环

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原文地址:http://www.cnblogs.com/chenny7/p/4167769.html

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