河内塔

时间：2014-12-17 23:57:58 阅读：516 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

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一、河内塔的起源

1883年，一位法国的数学家Edouard Lucas 教授在欧洲的一份杂志上介绍了一个相当吸引人的难题──迷人的智力游戏。这个游戏名为河内塔(Tower of Hanoi)，它源自古印度神庙中的一段故事(也有一说是Lucas 教授为增加此游戏之神秘色彩而捏造的)。传说在古老的印度，有一座神庙，据说它是宇宙的中心。在庙宇中放置了一块上面插有三根长木钉的木板，在其中的一根木钉上，从上至下被放置了64片直径由小至大的圆环形金属片。古印度教的天神指示祂的僧侣们将64片的金属片移至三根木钉中的其中一根上。规定在每次的移动中，只能搬移一片金属片，并且在过程中必须保持金属片由上至下是直径由小至大的次序，也就是说不论在那一根木钉上，圆环形的金属片都是直径较小的被放在上层。直到有一天，僧侣们能将64片的金属片依规则从指定的木钉上全部移动至另一根木钉上，那么，世界末日即随之来到，世间的一切终将被毁灭，万物都将至极乐世界。

倘若这个故事的叙述为真，那么，我们只需加速移动金属片，是不是就能愈早到达极乐世界呢？果真要移动这64片金属片，那么，至少要花几次的搬动才能完成呢？有没有规律可循呢？

二、河内塔的数学

对于河内塔游戏也可以经由数学上的方法得到一些漂亮的结果：若一开始就考虑64片金属片似乎太难了，我们不妨把金属片的数量降低至2片，看看会有什么结果？

如果只有1片，显然只须移动一次即可。当2片直径不一的金属片放在同一木钉上，必须将最上的那一片先移至非指定的木钉上，然后将第二片金属片移至指定的木钉上，再接着将第一片金属片移至第二片之上，所以，至少要花3次搬移来完成。若是3片金属片，依相同的讨论方法，可得知须至少移动金属片7次，如图1。

图 1

那当n很大时(金属片数= n )，至少要花几次呢？

现在假设至少须T(n) 次的移动来完成，那么，我们再加一片金属片，即此时共有n+1 片金属片；我们知道前n 片花了T(n) 次来移动至另一根木钉上，第n+1 片金属片只须花一次就可移至指定的木钉上，所以，只须再花T(n) 次的移动将n 片金属片移至这一片金属片之上，这就完成了任务──有n+1 片金属片移到另一根木钉上。它们都是在规范内被完成移动，所以最少移动次数有如下迭代公式：

T(n+1) = 2T(n) + 1

又已知T(1) = 1, T(2) = 3, T(3) = 7 ，因此是否可以推出T(64)?

由迭代公式知道：

T(n+1) = 2T(n) + 1

T(n+1)+ 1 = 2T(n) + 2

T(n+1) + 1 = 2(T(n) + 1)

因此构造出以公比为2的等比数列，不难计算知道的公式为：

bubuko.com,布布扣

所以我们可以计算出： bubuko.com,布布扣

好了，河内塔的数学推导暂时到这里了，现在我们看看它何如在三个柱子之间移动的。

四、河内塔移动方式

若将三根木钉排成一个三角形(即木钉在三角形的顶点)如图2。假设，移动金属片的方式被分为顺时针方向及逆时针方向，每做一次顺时针方向移动，我们在纸上划上﹨，做一次逆时针方向则划上∕，若令出发点为A 柱，终点为C 柱。逐步记录结果：

图 2

三片金属片移动的路径：

5、汉诺塔移动路径实现算法（摘自百度百科，链接：http://baike.baidu.com/view/191666.htm#4_3）：

算法介绍

其实算法非常简单，当盘子的个数为n时，移动的次数应等于2^n – 1（有兴趣的可以自己证明试试看）。后来一位美国学者发现一种出人意料的简单方法，只要轮流进行两步操作就可以了。首先把三根柱子按顺序排成品字型，把所有的圆盘按从大到小的顺序放在柱子A上，根据圆盘的数量确定柱子的排放顺序：若n为偶数，按顺时针方向依次摆放 A B C；

若n为奇数，按顺时针方向依次摆放 A C B。

⑴按顺时针方向把圆盘1从现在的柱子移动到下一根柱子，即当n为偶数时，若圆盘1在柱子A，则把它移动到B；若圆盘1在柱子B，则把它移动到C；若圆盘1在柱子C，则把它移动到A。

⑵接着，把另外两根柱子上可以移动的圆盘移动到新的柱子上。即把非空柱子上的圆盘移动到空柱子上，当两根柱子都非空时，移动较小的圆盘。这一步没有明确规定移动哪个圆盘，你可能以为会有多种可能性，其实不然，可实施的行动是唯一的。

⑶反复进行⑴⑵操作，最后就能按规定完成汉诺塔的移动。

所以结果非常简单，就是按照移动规则向一个方向移动金片：

如3阶汉诺塔的移动：A→C,A→B,C→B,A→C,B→A,B→C,A→C

现在我给出我自己写的C语言代码：

 1 #include <stdio.h>
 2 
 3 //A桩为初始位置，B为临时位置，C为目的位置,n为现在A桩上盘子的数目 
 4 void Hanoi_towers(char A, char B, char C, int n) 
 5 {
 6     if( n == 1)
 7         printf("%c===>%c\n", A, C);  /**
 8                                       *因为在只有一片金属片时， 
 9                                       *直接将A移动到C既可 */
10     else{
11         Hanoi_towers(A, C, B, n - 1); /**
12                                        *当金属片只有大于一片时，
13                                        *借助B作临时存放A的位置 */
14         printf("%c===>%c\n", A, C);   //因为移动了一次，则将其输出 
15         Hanoi_towers(B, A, C, n - 1);  /**
16                                         *因为借助了B为临时存放A，
17                                         *最后要将其A归回原位*/
18     } 
19 }
20 
21 int main()
22 {
23     Hanoi_towers(‘A‘,‘B‘,‘C‘,3);
24     return 0;
25 }