智叟分牛

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    很小的时候就看到了这么一个故事。

    相传古印度有一位老人，临终前留下遗嘱，把所养的19头牛分给3个儿子。大儿子分得二分之一，老二分得四分之一，小儿子分得五分之一。按印度教规，牛被视为神灵，不能被宰杀，而父亲的遗嘱须无条件遵守。按老父亲的遗嘱，大儿子分得的牛数为：19/2=9.5，二儿子分得：19/4=4.75头，小儿子分得19/5=3.8头牛。老人死后，三位儿子一筹莫展。[1]

    还记得那时候是三年级，看书已知道答案，就是大家熟悉的借牛法，即：向其他的人借一头牛，加在一起共有20头，大儿子分得20/2=10头牛，二儿子分得20/4=5头牛，小儿子分得20/5=4头牛，共分得10+5+4=19头牛，将剩下的一头牛还给别人。当时刚好来了一个非常年轻，非常帅气的数学老师，一向心高气傲的我想考考这位老师的数学水平，于是将这道题问他。这位老师一节课后将我叫到了办公室，认真的给我解释怎么分牛，当时心中还是挺佩服他的。

    虽然早已知道答案，但心中一直有一事不明，10头牛并不是19的二分之一，为何算是正确答案呢？直到昨天，我才明白其中的奥秘。

    解释一。

    注意到，1/2+1/4+1/5=19/20，也就是说，三个儿子第一次分得的牛加起来其实并不是所有牛。假设所有牛为1，则还剩下1-19/20=1/20，按照老人的遗嘱，剩下的1/20的牛也应该让大儿子分得二分之一，老二分得四分之一，小儿子分得五分之一，此时还剩下1/20-1/20*(1/2+1/4+1/5)=1/(20*20)，如此不断的分下去，那么，分得的牛数情况如下：

    大儿子：19*(1/2+1/2*1/20+1/2*1/(20*20)+...)=19/2*(1+1/20+1/(20*20)+...)

    二儿子：19*(1/4+1/4*1/20+1/4*1/(20*20)+...)=19/4*(1+1/20+1/(20*20)+...)

    小儿子：19*(1/5+1/5*1/20+1/5*1/(20*20)+...)=19/5*(1+1/20+1/(20*20)+...)

    1, 1/20, 1/(20*20), ... 是一个极限等比数列，根据等比数列公式：Sn=a1*(1-qⁿ)/(1-q)，可知

    1+1/20+1/(20*20)+...=1*(1-(1/20)ⁿ)/(1-1/20), n->无穷大=20/19

    因此，最终的分配方案为：

    大儿子：19/2*20/19=10

    二儿子：19/4*20/19=5

    小儿子：19/5*20/19=4

    解释二。

    大儿子分得二分之一，老二分得四分之一，小儿子分得五分之一，可以看成他们的分配比例。

    大儿子:二儿子:小儿子=1/2:1/4:1/5=10:5:4，因此三个儿子最终获得的牛数为：

    大儿子：19*10/(10+5+4)=10

    二儿子：19*5/(10+5+4)=5

    小儿子：19*4/(10+5+4)=4

[1] 周颖, 程序员的数学思维修炼, 清华大学出版社, P150

智叟分牛

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原文地址：http://blog.csdn.net/kangrydotnet/article/details/42002357