高斯函数以及在图像处理中的应用总结

标签：图像处理   高斯平滑   

1、一维高斯函数：

a表示得到曲线的高度，b是指曲线在x轴的中心，c指width(与半峰全宽有关),图形如下：

、

2、根据一维高斯函数，可以推导得到二维高斯函数：

例如：通常，图像处理软件会提供"模糊"（blur）滤镜，使图片产生模糊的效果。

"模糊"的算法有很多种，其中有一种叫做"高斯模糊"（Gaussian Blur）。它将正态分布（又名"高斯分布"）用于图像处理。

本节介绍"高斯模糊"的算法，你会看到这是一个非常简单易懂的算法。本质上，它是一种数据平滑技术（data smoothing），适用于多个场合，图像处理恰好提供了一个直观的应用实例。

高斯模糊的原理

所谓"模糊"，可以理解成每一个像素都取周边像素的平均值。

上图中，2是中间点，周边点都是1。

"中间点"取"周围点"的平均值，就会变成1。在数值上，这是一种"平滑化"。在图形上，就相当于产生"模糊"效果，"中间点"失去细节。

显然，计算平均值时，取值范围越大，"模糊效果"越强烈。

上面分别是原图、模糊半径3像素、模糊半径10像素的效果。模糊半径越大，图像就越模糊。从数值角度看，就是数值越平滑。

接下来的问题就是，既然每个点都要取周边像素的平均值，那么应该如何分配权重呢？

如果使用简单平均，显然不是很合理，因为图像都是连续的，越靠近的点关系越密切，越远离的点关系越疏远。因此，加权平均更合理，距离越近的点权重越大，距离越远的点权重越小。

正态分布的权重

正态分布显然是一种可取的权重分配模式。

在图形上，正态分布是一种钟形曲线，越接近中心，取值越大，越远离中心，取值越小。

计算平均值的时候，我们只需要将"中心点"作为原点，其他点按照其在正态曲线上的位置，分配权重，就可以得到一个加权平均值。

高斯函数

上面的正态分布是一维的，图像都是二维的，所以我们需要二维的正态分布。

正态分布的密度函数叫做"高斯函数"（Gaussian function）。它的一维形式是：

其中，μ是x的均值，σ是x的方差。因为计算平均值的时候，中心点就是原点，所以μ等于0。

根据一维高斯函数，可以推导得到二维高斯函数：

有了这个函数 ，就可以计算每个点的权重了。

权重矩阵

假定中心点的坐标是（0,0），那么距离它最近的8个点的坐标如下：

更远的点以此类推。

为了计算权重矩阵，需要设定σ的值。假定σ=1.5，则模糊半径为1的权重矩阵如下：

这9个点的权重总和等于0.4787147，如果只计算这9个点的加权平均，还必须让它们的权重之和等于1，因此上面9个值还要分别除以0.4787147，得到最终的权重矩阵。

计算高斯模糊

有了权重矩阵，就可以计算高斯模糊的值了。

假设现有9个像素点，灰度值（0-255）如下：

每个点乘以自己的权重值：

得到

将这9个值加起来，就是中心点的高斯模糊的值。

对所有点重复这个过程，就得到了高斯模糊后的图像。如果原图是彩色图片，可以对RGB三个通道分别做高斯模糊。

二、高斯（核）函数简介

（5）由于高斯函数的可分离性，大高斯滤波器可以得以有效地实现．二维高斯函数卷积可以分两步来进行，首先将图像与一维高斯函数进行卷积，然后将卷积结果与方向垂直的相同一维高斯函数卷积．因此，二维高斯滤波的计算量随滤波模板宽度成线性增长而不是成平方增长．

参考：
http://www.ruanyifeng.com/blog/2012/11/gaussian_blur.html

http://www.cnblogs.com/pzxbc/archive/2012/02/14/2351708.html

http://baike.baidu.com/view/1097446.htm?fr=aladdin

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高斯函数以及在图像处理中的应用总结

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