标签:2014百度之星资格赛 动态规划
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双调欧几里得旅行商问题是一个经典动态规划问题。《算法导论(第二版)》思考题15-1和北京大学OJ2677都出现了这个题目。
旅行商问题描述:平面上n个点,确定一条连接各点的最短闭合旅程。这个解的一般形式为NP的(在多项式时间内可以求出)
J.L. Bentley 建议通过只考虑双调旅程(bitonictour)来简化问题,这种旅程即为从最左点开始,严格地从左到右直至最右点,然后严格地从右到左直至出发点。下图(b)显示了同样的7个点的最短双调路线。在这种情况下,多项式的算法是可能的。事实上,存在确定的最优双调路线的O(n*n)时间的算法。
上图中,a是最短闭合路线,这个路线不是双调的。b是最短双调闭合路线。
求解过程:
(1)首先将各点按照x坐标从小到大排列,时间复杂度为O(nlgn)。
(2)寻找子结构:定义从Pi到Pj的路径为:从Pi开始,从右到左一直到P1,然后从左到右一直到Pj。在这个路径上,会经过P1到Pmax(i,j)之间的所有点且只经过一次。
在定义d(i,j)为满足这一条件的最短路径。我们只考虑i>=j的情况。
同时,定义dist(i,j)为点Pi到Pj之间的直线距离。
(3)最优解:我们需要求的是d(n,n)。
关于子问题d(i,j)的求解,分三种情况:
A、当j < i - 1时,d(i,j) = d(i-1,j) + dist(i - 1,i)。
由定义可知,点Pi-1一定在路径Pi-Pj上,而且又由于j<i-1,因此Pi的左边的相邻点一定是Pi-1.因此可以得出上述等式。
B、当j = i - 1时,与Pi左相邻的那个点可能是P1到Pi-1总的任何一个。因此需要递归求出最小的那个路径:
d(i,j) = d(i,i-1) = min{d(k,j) + dist(i,k)},其中1 <= k <= j。
C、当j=i时,路径上最后相连的两个点可能是P1-Pi、P2-Pi...Pi-1-Pi。
因此有:
d(i,i) = min{d(i,1)+dist(1,i),...,d(i,i-1),dist(i-1,i)}.。
#include<cstdio> #include<cmath> #include<algorithm> #define INF 100*1000*800 #define MAX 1005 using namespace std; typedef struct Position { int t; int s; }Position; Position p[MAX]; int dp[MAX][MAX]; int Distance(int i,int j)//get the distance of track i and track j { int t=(int)fabs(p[i].t-p[j].t)*400; int s1,s2; if(p[i].s<p[j].s) { s1=p[i].s; s2=p[j].s; } else { s1=p[j].s; s2=p[i].s; } int l=s2-s1; int r=360-s2+s1; return (l<r?l:r)+t; } int solve(int n) { int ans=INF; int i,j; int dis; dp[2][1]=Distance(2,1); for(i=2;i<=n;i++) { for(j=1;j<i;j++) { dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i-1][j]+Distance(i-1,i)); dp[i][i-1]=min(dp[i][i-1],dp[i-1][j]+Distance(j,i)); } } for(i=1;i<n;i++) { dis=Distance(i,n); if(ans>dp[n][i]+dis) ans=dp[n][i]+dis; } return ans; } int main(int argc,char *argv[]) { int n,m; scanf("%d",&m); while(m--) { scanf("%d",&n); p[1].t=0; p[1].s=0; for(int i=2;i<=n+1;i++) scanf("%d%d",&p[i].t,&p[i].s); for(int i=1;i<=n+1;i++) for(int j=1;j<=n+1;j++) dp[i][j]=INF; printf("%d\n",solve(n+1)+n*10); } return 0; }
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原文地址:http://blog.csdn.net/cstopcoder/article/details/26631611