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1. 求下列一阶线性齐次偏微分方程的特征线:
(1). $\dps{x\frac{\p u}{\p x} +2y\frac{\p u}{\p y} +3z\frac{\p u}{\p z}=0}$.
解答: 特征方程为 $$\bex \frac{\rd x}{\rd t}=x,\quad \frac{\rd y}{\rd t}=2y,\quad \frac{\rd z}{\rd t}=3z, \eex$$ 而特征线为 $$\bex x(t)=C_1e^t,\quad y(t)=C_2e^{2t},\quad z(t)=C_3e^{3t}. \eex$$
(2). $\dps{\sqrt{x_1}\frac{\p u}{\p x_1}+\cdots +\sqrt{x_n}\frac{\p u}{\p x_n} =0.}$.
解答: 特征方程为 $$\bex \frac{\rd x_1}{\rd t}=\sqrt{x_1},\quad\cdots,\quad \frac{\rd x_n}{\rd t}=\sqrt{x_n}, \eex$$ 而特征线为 $$\bex x_i(t)=\sex{\frac{x_i+C_i}{2}}^2,\quad 1\leq i\leq n. \eex$$
(3). $\dps{x_1\frac{\p u}{\p x_1}+\cdots +x_n\frac{\p u}{\p x_n}=0}$.
解答: 特征方程为 $$\bex \frac{\rd x_1}{\rd t}=x_1,\quad \cdots,\quad \frac{\rd x_n}{\rd t}=x_n, \eex$$ 而特征线为 $$\bex x_i(t)=C_ie^t,\quad 1\leq i\leq n. \eex$$
2. 求下列方程的通解:
(1). $\dps{\frac{\p u}{\p x}-a\frac{\p u}{\p y}=0}$, 常数 $a>0$.
解答: 特征方程为 $$\bex \frac{\rd x}{\rd t}=1,\quad \frac{\rd y}{\rd t}=-a, \eex$$ 而特征线为 $$\bex x=t+C_1,\quad y=-at+C_2, \eex$$ 或者等价地为 $$\bex y=-ax+C. \eex$$ 在特征线上, $$\bex \frac{\rd u}{\rd t}=0\ra u(x,y)=u(0,C)=u(0,ax+y)\equiv \varphi(ax+y). \eex$$ 故所求为 $$\bex u(x,y)=\varphi(ax+y). \eex$$
(2). $\dps{\frac{\p u}{\p y}=x^2+y^2}$.
解答: 直接积分得 $$\bex u(x,y)=x^2y+\frac{y^3}{3}+\varphi(x). \eex$$
(3). $\dps{x\frac{\p u}{\p y}=yu}$.
解答: 特征方程为 $$\bex \frac{\rd x}{\rd t}=0,\quad \frac{\rd y}{\rd t}=x, \eex$$ 而特征线为 $$\bex x=C_1,\quad y=C_1t+C_2, \eex$$ 这就是 $x=C_1$, 于其上, $$\bex C_1\frac{\rd u}{\rd y}=yu\ra u=u(C_1,0)e^{\frac{y^2}{2C_1}}. \eex$$ 故通解为 $$\bex u(x,y)=\varphi(x)e^\frac{y^2}{2x}. \eex$$
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