标签：数学 递推 similar fibonacci
Codeforces gym Hello 2015 Div2 B
Codeforces gym 100571 problem B
Problem
设函数F(x)，F(1)与F(2)已知，且当 i>=3，F(i)=a*F(i-2)+b*F(i-1)。再给一个长度为N的数列A，进行Q次如下操作：每次给一个区间[L, R]，对于每个k（L=<k<=R），将A[k]=A[k]+F[k-L+1]。最后输出数列A（mod
10^9+7）。
Limits
Time Limit(ms): 1000
Memory Limit(MB): 256
N, Q: [1, 10^5]
F(1), F(2), a, b: [1, 10^9]
A[i]: [1, 10^9]
1=<L<=R<=N
Solution
将每个数都表示成“t1*F(1)+t2*F(2)”的形式，设F(n)=t1*F(1)+t2*F(2)，可推得F(n+1)=(a*t2)*F(1)+(t1+b*t2)*F(2)。利用“先标记最后递推维护”的思想，每次操作时，在L位置标记一个add值，在R位置标记一个sub值（具体见More中的解释）；Q次操作结束后，从1到n递推一遍，不断维护每个位置的add值和A[i]值（具体见More中的解释）。最终输出A（mod
10^9+7）。
More
对于每个位置，add与sub初始均为0，每次标记时，add[L]=add[L]+F(1) ，sub[R]=sub[R]+F(R-L+1)；但，add与sub值都应表示成t1*F(1)+t2*F(2)的形式；换句话说，先需递推求出每个F(n)的系数 t1 和 t2，初始时每个add和sub的两个系数t1，t2均为0，每次标记时，add[L].t1+=F(1).t1，add[L].t2+=F(1).t2，sub[R].t1+=F(R-L+1).t1，sub[R].t2+=F(R-L+1).t2。
Q次操作结束后，从1到n递推一遍，维护add与A[i]。先维护add，add[i].t1+=a*add[i-1].t2，add[i].t2+=add[i-1].t1+b*add[i-1].t2；再维护A[i]，A[i]+=add[i].t1*F(1)+add[i].t2*F(2)；再维护add，add[i].t1=add[i].t1 - sub[i].t1，add[i].t2=add[i].t2
- sub[i].t2（由于每次是维护某段[L ,R]中的权值，大于R的位置此次不可维护，所以需在R位置上标记一个sub，再适当时候将add值减去sub）。
在维护add与A[i]时，也可以用公式F(i)=a*F(i-2)+b*F(i-1)递推维护，但其中讨论的细节有所麻烦。
Complexity
Time Complexity: O(N+Q)
Memory Complexity: O(N)
Source
Code
Codeforces gym Hello 2015 Div2 B
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原文地址：http://blog.csdn.net/uestc_peterpan/article/details/42526033
