标签：
百钱买百鸡的问题算是一套非常经典的不定方程的问题，题目很简单：公鸡5文钱一只，母鸡3文钱一只，小鸡3只一文钱，
用100文钱买一百只鸡,其中公鸡，母鸡，小鸡都必须要有，问公鸡，母鸡，小鸡要买多少只刚好凑足100文钱。
分析：估计现在小学生都能手工推算这套题，只不过我们用计算机来推算，我们可以设公鸡为x，母鸡为y，小鸡为z，那么我们
可以得出如下的不定方程，
x+y+z=100,
5x+3y+z/3=100，
下面再看看x，y，z的取值范围。
由于只有100文钱，则5x<100 => 0<x<20, 同理 0<y<33,那么z=100-x-y，
好，我们已经分析清楚了，下面就可以编码了。
class Program { static void Main(string[] args) { //公鸡的上线 for (int x = 1; x < 20; x++) { //母鸡的上线 for (int y = 1; y < 33; y++) { //剩余小鸡 var z = 100 - x - y; if ((z % 3 == 0) && (x * 5 + y * 3 + z / 3 == 100)) { Console.WriteLine("公鸡:{0}只，母鸡:{1}只,小鸡:{2}只", x, y, z); } } } Console.Read(); } }
结果出来了，确实这道题非常简单，我们要知道目前的时间复杂度是O(N2),实际应用中这个复杂度是不能让你接受的，最多最多能让
人接受的是O(N)。
所以说我们必须要优化一下，从结果中我们可以发现这样的一个规律：公鸡是4的倍数,母鸡是7的递减率，小鸡是3的递增率，规律哪里
来，肯定需要我们推算一下这个不定方程。
x+y+z=100 ①
5x+3y+z/3=100 ②
令②x3-① 可得
7x+4y=100
=>y=25-(7/4)x ③
又因为0<y<100的自然数，则可令
x=4k ④
将④代入③可得
=> y=25-7k ⑤
将④⑤代入①可知
=> z=75+3k ⑥
要保证0<x，y，z<100的话，k的取值范围只能是1,2,3，下面我们继续上代码
class Program { static void Main(string[] args) { int x, y, z; for (int k = 1; k <= 3; k++) { x = 4 * k; y = 25 - 7 * k; z = 75 + 3 * k; Console.WriteLine("公鸡:{0}只，母鸡:{1}只,小鸡:{2}只", x, y, z); } Console.Read(); } }
这一次我们做到了O(N)的时间复杂度，很不错，起码优化到了我能接受的范围内，或许我们感觉到了数学的魅力，是的，因为....
数学是科学的皇后。皇上自然就是物理了...
上述使用数学运算化简、缩小取值范围来降低时间复杂度。
思考：m钱买m鸡？（公、母、小鸡的价格不变。）
标签：
原文地址：http://www.cnblogs.com/yyxt/p/4214739.html
