LA3882 约瑟夫数学递归法

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 首先，约瑟夫环的数学优化方法为：

        为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

      我们知道第一个人(编号一定是(m-1)%n) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）: 　　   k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2 　　并且从k开始报0。现在我们把他们的编号做一下转换：

      k --> 0 　　k+1 --> 1 　　k+2 --> 2

       n-1 --> n-1-k     0--> n-k   

        ... ... 　　

     k-3 --> n-3 　　k-2 --> n-2

     序列1： 1, 2, 3, 4, …, n-2, n-1, n

     序列2： 1, 2, 3, 4, … k-1, k+1, …, n-2, n-1, n

     序列3： k+1, k+2, k+3, …, n-2, n-1, n, 1, 2, 3,…, k-2, k-1 　　

     序列4：1, 2, 3, 4, …, 5, 6, 7, 8, …, n-2, n-1 　　

      变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：

   　∵ k=m%n; 　　

       ∴ x‘ = x+k = x+ m%n ; 而 x+ m%n 可能大于n

       ∴x‘= (x+ m%n)%n = (x+m)%n 　　得到 x‘=(x+m)%n

        如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

      令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n].

      递推公式: 　　f[1]=0; 　　f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)。

那么本题就好写了。

题目大意，n个数围成一个环，从第m个数开始，每k个数删除一次，最后一个数是是多少。

代码：

 1 #include <stdio.h>
 2 #include <string.h>
 3 #include <iostream>
 4 #include <algorithm>
 5 using namespace std;
 6 
 7 main()
 8 {
 9     int n, m, k, i, j, f[10005];
10     while(scanf("%d %d %d",&n,&k,&m)!=EOF)
11     {
12         if(n==0&&k==0&&m==0) break;
13         f[1]=0;
14         for(i=2;i<=n;i++)
15         f[i]=(f[i-1]+k)%i;
16         
17         int ans=(m-k+1+f[n])%n;
18         if(ans<=0)
19         ans+=n;
20         printf("%d\n",ans);
21     } 
22 }

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LA3882 约瑟夫数学递归法

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