[家里蹲大学数学杂志]第036期泛函分析期末试题

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1 (15 分) 设 $\mathcal{H}$ 是 Hilbert 空间, $l$ 为 $\mathcal{H}$ 上的一实值线性有界泛函, $C$ 是 $\mathcal{H}$ 中一闭凸子集,

$$f(v)=\frac{1}{2}||v||^2-l(v)\quad(\forall\ v\in C).$$ 求证:

(1) 对任意 $\mathcal{H}$ 上线性有界泛函 $g$ , $\exists\ u_0\in \mathcal{H}$ , 使得 $f(u_0)=g(u_0)$ ;

(2) $\exists\ u_1\in C$ , 使得

$$f(u_2)=\inf_{v\in C}f(v);$$

(3)讨论 $g,\ u_0,\ u_1$ 之间的关系.

 

2(15 分) 设 $\mathcal{H}$ 是 Hilbert 空间, $T:\mathcal{H}\to \mathcal{H}$ 是线性算子且满足

$$(Tx,y)=(x,Ty)\quad (\forall\ x,y\in \mathcal{H}).$$ 求证:

(1) $T\in \mathcal{L}(\mathcal{H})$ ;

(2) $T^*=T$ , 此时称 $T$ 为自共轭算子;

(3)若 $\overline{R(A)}=\mathcal{H}$ , 则对 $\forall\ y\in R(A)$ , 方程

$$Ax=y$$ 存在唯一解.

 

3(15 分) 证明:

(1)若 $p\leq q$ , 则 $l^p\subset l^q$ ;

(2) $l^\infty$ 不可分;

(3) $l^1$ 不自反.

 

4(10 分) 设 $\varphi\in C[0,1]$ , $T:\ L^2[0,1]\to L^2[0,1]$ 是由

$$(Tf)(x)=\varphi(x)\int_0^1\varphi(t)f(t)\ dt\quad(\forall\ f\in L^2[0,1])$$ 给出的线性算子. 求证:

(1) $T$ 是自共轭算子 (定义见题2);

(2) $\exists\ \lambda\geq 0$ , 使得 $T^2=\lambda T$ , 由此求出 $T$ 的谱半径 $r_\sigma(T)$ .

 

 

5(10 分) 设 $\mathcal{X}$ 是自反的 Banach 空间, $A\subset \mathcal{X}$ . 证明:

(1) $A$ 弱列紧的充分必要条件是 $A$ 有界;

(2) 若 $A$ 弱列紧的, 则 $A$ 的凸包

$$co (A) =\left\{ \sum_{i=1}^n\lambda_ix_i;\ \sum_{i=1}^n \lambda_i=1,\ \lambda_i\geq 0,\ x_i\in A,\ i=1,2,\cdots, n,\ n\in \mathbb{N} \right\}$$ 也是弱列紧的.

 

6(10 分) 证明:

(1)在 Hilbert 空间 $\mathcal{H}$ 中, $x_n\to x_0$ 的充分必要条件是

$$||x_n||\to ||x_0||,\quad x_n\rightharpoonup x_0;$$

(2)在 $L^2[0,1]$ 中, $f_n\to f$ 的充分必要条件是

$$f_n\rightharpoonup f,\quad f_n^2\stackrel{*}{\rightharpoonup} f^2.$$

 

7(8 分) 设 $\mathcal{H}$ 是 Hilbert 空间, $\mathcal{H}_0$ 是 $\mathcal{H}$ 的闭线性子空间, $f_0$ 是 $\mathcal{H}_0$ 上的线性有界泛函. 证明: $\exists\ \mathcal{H}$ 上的线性有界泛函 $f$ , 使得

$$f(x)=f_0(x)\quad(\forall\ x\in \mathcal{H}_0),$$ $$||f||=||f_0||.$$

 

 

8(8 分) 设 $\mathcal{X},\ \mathcal{Y}$ 是 Banach 空间, $T$ 是 $\mathcal{X}$ 到 $\mathcal{Y}$ 的线性算子, 又设对 $\forall\ g\in \mathcal{Y}^*$ , $g(Tx)$ 是 $\mathcal{X}$ 上的线性有界泛函, 求证: $T$ 是连续的.

 

9(9 分) 设 $C[a,b]$ 是连续函数空间, 赋以最大值范数

$$||x||_\infty =\sup_{t\in [a,b]} |x(t)|\quad (\forall\ x\in C[a,b]).$$ 设 $\{x_n\}\subset C[a,b]$ $x\in C[a,b]$ . 求证: $x_n\rightharpoonup x$ 的充分必要条件是 $$\lim_{n\to\infty}x_n(t)=x(t),\quad \forall\ t\in [a,b]\cap \mathbb{Q},$$ 且 $$\sup_{n\geq 1}||x_n||_\infty<\infty.$$

 

应老师要求, 出了一份泛函分析期末试卷, 主要针对张恭庆泛函分析第二章. 自己写完后也感觉太难了. 不过还是保留了做个纪念. 下次修改后再发终结版.

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原文地址：http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3750813.html