标签：信号与系统 傅里叶变换 傅里叶级数 图像处理
学习DIP第22天
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开篇废话
本来是不想写DTFT的，原因1，与前面傅里叶变换（FT）推导过程相似，原因2，在图像处理中DTFT应用不是很广泛，但后来想想还是写出来，原因1，不写出来我觉得心里不踏实，原因2，DTFT是DFT的近亲，不写的话家族不完整，下一篇写DFT，其实写到这个阶段，要写的东西就少了许多，因为很多都是引用前面的结论和一些性质。但还是写出来吧，为了心里踏实。
忘了哪位中国上一辈的科学家说过，“搞科研不能糊弄，你糊弄它，它就糊弄你。”我这算不上科研，但感觉还是学踏实点心里有底，不至于以后哪里出了问题总是会怀疑自己知识基础有问题。还有，希望我们当代的科研工作者能好好搞研究，都不好好教学了还搞不好研究，那就真是一群废物了。
从离散周期信号的傅里叶级数推导离散时间傅里叶变换
一个某一个有限序列x[n],其在某一个阶段N（N1<=n<=N2）内不为0，其外部，全部为0，用这个信号构造一个周期信号x‘[n]，x[n]是x‘[n]的一个周期。
x‘[n]是周期信号，所以其有傅里叶级数，并且其傅里叶级数是周期的：
在N内x‘[n]=x[n]，替换求和内容为：
在N外x[n]=0；所以定义函数：
所以系数ak正比于X(e^jw)：
其中w0=2*pi/N，上面式子和第一个式子结合起来就有：
因为w0*N=2*pi，所以有：
随着N的增加，w0不断减少，当N趋近于无穷大的时候，w0趋近于无穷小，x‘[n]=x[n] ，此时，上式变成一个积分式，积分变量为w0，因为w0=2*pi/N，所以积分区间为2*pi，就有：
因为X(e^jw)e^jw的周期是2*pi，所以积分区间可以去任何长度的2*pi区间，得出以下变换对：
这就是离散时间傅里叶变换对，同样，转换到频域的叫分析公式，转换到时域的叫综合公式。
性质
总结
至此，傅里叶家的四种主要变换已经全部推导了以下，下一篇写下DFT是什么，然后介绍几个常见问题，并给出傅里叶家谱和之间的相互关系。
灰度图像--频域滤波 傅里叶变换之离散时间傅里叶变换(DTFT)
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