求哈夫曼的带权路径长度

标签：哈夫曼树   带权路径   

【问题描述】
 已知输入两行正整数，第二行正整数之间用空格键分开，请建立一个哈夫曼树，以输入的数字为叶节点，求这棵哈夫曼树的带权路径长度。

【输入形式】
 首先第一行为输入正整数的个数，然后接下来的一行正整数，代表叶结点，正整数个数不超过1000个

【输出形式】
 输出相应的权值

【样例输入】

 5

 4 5 6 7 8

【样例输出】

 69

关于哈夫曼树——

1、 路径长度

从树中一个结点到另一个结点之间的分支构成两个结点之间的路径，路径上的分支数目称做路径长度。

图1  从根节点到D节点的路径长度为4

1、 树的路径长度

路径长度就是从树根到每一结点的路径长度之和。

图2 树的路径长度为1+1+2+2+3+3+4+4=20

1、 哈夫曼树:

带权路径长度WPL（Weighted Path Length）最小的二叉树，也称为最优二又树.

例: 上图的WPL=1*5 + 2*15 + 3*40 + 4*30 + 4*10= 315

先了解通过刚才的步骤，我们可以得出构造哈夫曼树的算法描述。

1、根据给定的n个权值{w[1],w[2],…,w[n]}构成n棵二叉树的集合F={T[1],T[2],…T[n]}，    其中每棵二叉树T[i];中只有一个带权为w[i]的根结点，其左右子树均为空。

2、在F中选取两棵根结点的权值最小的树作为左右子树构造一棵新的.二叉树，且置新的二叉树的根结点的权值为其左右子树上根结点的权值之和，

3、在F中删除这两棵树，同时将新得到的二义树加入F中。

4重复2和3步骤，直到F只含一棵树为止。这棵树便是哈夫曼树.

结合例题说明一下这个算法

图3 哈夫曼树的构造过程示意图

图4 最终结果

那么可以由上面的哈夫曼树计算出最小带权路径长度

WPL = 1*9 + 2*5 + 3*2 + 4*1 + 4*2 =37

另外还可以有另外一个方法，结合算法描述仔细观察发现最小带权路径长度为非叶子结点的和 ，即

WPL= 19 + 10 +5 +3=37

至于算法的正确性，一下子也想不到什么好的办法来证明，不过应该是可以逻辑推导过来的。

那么要实现这段程序，由上面的算法描述图我们已经知道差不多了，主要分为三步：

一、排序,直到数组中只有一个数则退出

二、最小两个数加起来，即为非叶子节点，累加到累加器中

三、把最小两个数加起来作为一个新的值保存在数组中，去掉最小两个值，跳回第一步

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>                          //qsort();

#define N 1010

int rising(const void *a, const void *b)    
{
    return *(int*)a - *(int*)b;
}

int main()
{
    int leaf[N] = {0}, n, i, sum = 0;

    scanf("%d", &n);
    for(i=0; i<n; i++)
        scanf("%d", leaf+i);

    for(i=0; i<n-1; i++)
    {
        qsort(leaf+i, n-i, sizeof(leaf[0]), rising);    //排序并剔除已使用的叶结点
        leaf[i+1] += leaf[i];     //合并两个最小的叶结点成一新的节点（放在leaf[i+1]中）
        sum += leaf[i+1];         //总路径长 = 所有非叶结点之和
    }
    printf("%d\n", sum);
    
    return 0;
}

求哈夫曼的带权路径长度

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原文地址：http://blog.csdn.net/puppylpg/article/details/42780607