[问题2014S12] 解答

时间：2014-05-25 20:13:34 阅读：263 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

[问题2014S12] 解答

先证明一个简单的引理.

引理设 $B$ 为 $n$ 阶半正定 Hermite 阵, $\alpha$ 为 $n$ 维复列向量, 若 $\overline{\alpha}^TB\alpha=0$ , 则 $B\alpha=0$ .

引理的证明 由假设存在 $n$ 阶复方阵 $C$ , 使得 $B=\overline{C}^TC$ , 从而

0 = α ˉ ˉ T B α = α ˉ ˉ T C ˉ ˉ ˉ T C α = (C α) ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ T (C α) .

$0=\overline{\alpha}^TB\alpha=\overline{\alpha}^T\overline{C}^TC\alpha=\overline{(C\alpha)}^T(C\alpha).$ 因此

Cα=0

$C\alpha=0$ , 从而

Bα=C

Cα=0

$B\alpha=\overline{C}^TC\alpha=0$ .

□

$\Box$

回到原题的证明.

任取 $AB$ 的特征值 $\lambda_0\in\mathbb{C}$ 以及对应的特征向量 $0\neq \alpha\in\mathbb{C}^n$ , 即

A B α = λ 0 α .

$AB\alpha=\lambda_0\alpha.$ 上式两边同时左乘

Bα

$\overline{B\alpha}^T$ , 则有

(B α) ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ T A (B α) = λ 0 α ˉ ˉ T B α .

$\overline{(B\alpha)}^TA(B\alpha)=\lambda_0\overline{\alpha}^TB\alpha.$ 若

Bα=0

$\overline{\alpha}^TB\alpha=0$ , 则由引理知

Bα=0

$B\alpha=0$ , 于是

α=ABα=0

$\lambda_0\alpha=AB\alpha=0$ , 从而

$\lambda_0=0$ , 结论成立. 若

Bα≠0

$\overline{\alpha}^TB\alpha\neq 0$ , 则由

$B$ 的半正定性知

Bα>0

$\overline{\alpha}^TB\alpha>0$ , 又由

$A$ 的半正定性知

(Bα)

A(Bα)≥0

$\overline{(B\alpha)}^TA(B\alpha)\geq 0$ , 从而

λ 0 = ( B α ) ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ T A ( B α ) α ˉ ˉ T B α \geq 0,

$\lambda_0=\frac{\overline{(B\alpha)}^TA(B\alpha)}{\overline{\alpha}^TB\alpha}\geq 0,$ 即结论也成立. 进一步, 若

A,B

$A,B$ 都是正定阵, 由上面第二种情况的讨论马上知道

$\lambda_0>0$ .

□

$\Box$

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