约瑟夫环问题

约瑟夫环是一个数学的应用问题：已知n个人（以编号1，2，3...n分别表示）围坐在一张圆桌周围。从编号为k的人開始报数，数到m的那个人出列；他的下一个人又从1開始报数，数到m的那个人又出列；依此规律反复下去，直到圆桌周围的人所有出列。

C代码例如以下（joseph.cpp）：

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<malloc.h>

typedef struct _node
{
	struct _node* next;
	int number;
}node,*linklist;

linklist create(int n);
void joseph(linklist head, int k, int m);

int main()
{
	linklist head;
	int m, n, k;
	printf("please input n:");
	scanf("%d",&n);
	printf("please input m:");
	scanf("%d",&m);
	printf("please input k:");
	scanf("%d",&k);
	head = create(n);
	printf("the sequences of leaving the list are:");
	joseph(head,k,m);
	return 0;
}
linklist create(int n)
{
	linklist head = (linklist)malloc(sizeof(node));
	node *tail;
	int i;
	head->next = head;
	head->number = 1;
	tail = head;
	for(i=2;i<=n;i++)
	{
		node *p = (node*)malloc(sizeof(node));
		p->number = i;
		p->next = tail->next;
		tail->next = p;
		tail = p;
	}
	return head;
}

void joseph(linklist head, int k, int m)
{
	int j;
	node *p;
	node *q;
	if(m == 1 && k == 1)
	{
		p = head;
		while(p->next != head)
		{
			printf("%d ",p->number);
			q = p->next;
			free(p);
			p = q;
		}
		printf("%d\n",p->number);
	}
	else if(m == 1 && k != 1)
	{
		p = head;
		for(j=1; j<k-1; j++)
			p = p->next;
		while(head->next != head)
		{
			q = p->next;
			p->next = q->next;
			printf("%d ",q->number);
			if(q == head)
				head = q->next;
			free(q);
		}
		printf("%d\n",head->number);
	}
	else
	{
		p = head;
		for(j=1; j<k; j++)
			p = p->next;
		while(head->next != head)
		{
			for(j=1; j<m-1; j++)
				p = p->next;
			q = p->next;
			p->next = q->next;
			printf("%d ",q->number);
			if(q == head)
				head = q->next;
			free(q);
			p = p->next;
		}
		printf("%d\n",head->number);
	}
}

1、m != 1，k != 1

2、m != 1，k == 1

3、m == 1，k != 1

4、m == 1，k == 1

上面程序中，之所以要分别讨论m==1和k==1的情况，是由于在单向循环链表中要想删除某一个结点，必须先找到该结点的前驱结点，然后更改相关指针域，使循环链表不断链，而m=1，k=1时，要想使循环链表不断链，必须先找到链表的尾结点，所以要分不同情况讨论。

鉴于此，想到使用双向循环链表，要想删除某一个结点，不须要找前驱结点，即使是删除第一个结点，也不须要找尾结点。

C代码例如以下所看到的（joseph2.cpp），能够看到代码逻辑简洁了不少：

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<malloc.h>

typedef struct _node
{
	struct _node* prev;
	struct _node* next;
	int number;
}node,*linklist;

linklist create(int n);
void joseph(linklist head, int k, int m);

int main()
{
	linklist head;
	int m, n, k;
	printf("please input n:");
	scanf("%d",&n);
	printf("please input m:");
	scanf("%d",&m);
	printf("please input k:");
	scanf("%d",&k);
	head = create(n);
	printf("the sequences of leaving the list are:");
	joseph(head,k,m);
	return 0;
}
linklist create(int n)
{
	linklist head = (linklist)malloc(sizeof(node));
	node *tail;
	int i;
	head->next = head;
	head->prev = head;
	head->number = 1;
	tail = head;
	for(i=2;i<=n;i++)
	{
		node *p = (node*)malloc(sizeof(node));
		p->number = i;
		p->next = tail->next;
		p->prev = tail;
		tail->next = p;
		tail = p;
		head->prev = tail;
	}
	return head;
}

void joseph(linklist head, int k, int m)
{
	int i;
	node *p;
	node *q;
	p = head;
	for(i=1; i<k; i++)//获取開始计数的结点
			p = p->next;
	while(head->next != head)
	{
		for(i=1; i<m; i++)
			p = p->next;//获取每轮计数的第m个结点，即待删除结点
		q = p->next;
		q->prev = p->prev;
		p->prev->next = q;
		printf("%d ",p->number);
		if(p == head)//假设删除的是第一个结点，则须要又一次设置head指针
			head = q;
		free(p);
		p = q;//删除一个结点之后，从该结点的下一个结点又一次開始计数
	}
	printf("%d\n",head->number);
}

假设能使用C++标准库中的list来模拟循环链表，那么逻辑更清晰，代码更简洁。

C++代码例如以下（joseph3.cpp）：

#include<iostream>
#include<list>
using namespace std;

void joseph(int n, int m, int k);

int main()
{
	int n,m,k;
	cout<<"please input n:";
	cin>>n;
	cout<<"please input m:";
	cin>>m;
	cout<<"please inpur k:";
	cin>>k;
	cout<<"the sequences of leaving the list are:";
	joseph(n,m,k);
	return 0;
}

void joseph(int n, int m, int k)
{
	list<int> numbers;
	int i,j;
	for(i=1; i<=n; i++)
		numbers.push_back(i);
	list<int>::iterator current = numbers.begin();
	list<int>::iterator next;
	for(i=1; i<k; i++)
	{
		++current;
		if(current == numbers.end())
			current = numbers.begin();
	}
	while(numbers.size()>1)
	{
		for(i=1; i<m; i++)
		{
			++current;
			if(current == numbers.end())
				current = numbers.begin();
			/*
			因为list本身并非一个循环链表，所以每当到达
			最后一个元素的下一个位置时，须要改动迭代器指向第一个元素
			*/
		}
		next = ++current;
		if(next == numbers.end())
			next = numbers.begin();
		--current;
		cout<<*current<<" ";
		numbers.erase(current);
		current = next;
	}
	cout<<*current<<endl;
}

能够得到与上面两种代码同样的结果。

上面编写的解约瑟夫环的程序模拟了整个报数的过程，程序执行时间还能够接受，非常快就能够出计算结果。但是，当參与的总人数n及出列值m非常大时，其运算速度就慢下来。比如，当n的值有上百万，m的值为几万时，到最后尽管仅仅剩2个人，也须要循环几万次（m的数量）才干确定2个人中下一个出列的序号。显然，在这个程序的执行过程中，非常多步骤都是进行反复没用的循环。那么，能不能设计出更有效率的程序呢？
在约瑟夫环中，假设仅仅是须要求出最后的一个出列者最初的序号，就没有必要去模拟整个报数的过程。因此，为了追求效率，能够考虑从数学角度进行推算，找出规律然后再编敲代码就可以。
为了讨论方便，先依据原意将问题用数学语言进行描写叙述。
问题：将编号为1～n这n个人进行圆形排列，按顺时针从1開始报数，报到m的人退出圆形队列，剩下的人继续从1開始报数，不断反复。求最后出列者最初在圆形队列中的编号。
以下首先列出0～n这n个人的原始编号例如以下：
1、2、3、……、m-2、m-1、m、m+1、m+2、……、n-2、n-1、n
第一个出列人的编号一定是m%n。比如，在41个人中，若报到3的人出列，则第一个出列人的编号一定是3%41=3，1人出列后的列表例如以下：
1、2、3、……、m-2、m-1、m+1、m+2、……、n-2、n-1、n
依据规则，当有人出列之后，下一个位置的人又从1開始报数，则以上列表可调整为下面形式（即以m+1位置開始，n之后再接上0、1、2……，形成环状）：
m+1、m+2、……、n-2、n-1、n、1、2、3、……、m-2、m-1
按上面排列的顺序又一次进行编号，可得到以下的相应关系：
1、       2、        3、   ……、n-2、n-1
m+1、m+2、m+3、……、m-2、m-1
即，将出列1人后的数据又一次组织成了1～n-1的列表，继续求n–1个參与人员，按报数到m即出列，求解最后一个出列者最初在圆形队列中的编号。
通过一次处理，将问题的规模缩小了。即，对于n个人报数的问题，能够分解为先求解（n–1）个人报数的子问题；而对于（n–1）个人报数的子问题，又可分解为先求[（n–1）–1]人个报数的子问题，……。
问题中的规模最小时是什么情况？就是仅仅有1个人时（n=1），报数到m的人出列，这时最后出列的是谁？当然仅仅有编号为1这个人。因此，可设有下面函数：
F（1）= 1
那么，当n=2，报数到m的人出列，最后出列的人是谁？应该是仅仅有一个人报数时得到的最后出列的序号加上m+1（由于已经有1个人出了队列，求F（n）时由于已经有n-1个人出了队列，所以须要加上n-1），可用公式表示为下面形式：
F（2）= F（1）+ m + 1
通过上面的算式计算时，F(2)的结果可能会超过n值（人数的总数）。比如，设n=2，m=3（即2个人，报数到3时就出列），则按上式计算得到的值是：
F（2）= F（1）+ 3 + 1 = 1 + 3 + 1 = 5
一共仅仅有2人參与，编号为5的人显然没有。怎么办？由于是环状报数，因此当两个人报完数之后，又从编号为1的人開始接着报数。依据这个原理，就可以对求得的值与总人数n进行模运算，然后再加上1，由于不是从0開始计数的，即：
F（2）= [F（1）+ m + 1] % n + 1 = [1 + 3 + 1]%2 + 1 = 2
即，n=2，m=3（即有2个人，报数到3的人出列）时，循环报数最后一个出列的人的编号为2（编号从1開始）。
依据上面的推导过程，能够非常easy推导出，当n=3时的公式：
F（3）= [F（2）+ m + 2]%3 + 1
同理，也能够推导出參与人数为N时，最后出列人员编号的公式：
F（n）= [F（n-1）+ m + n - 1]%n + 1
事实上，这就是一个递推公式，公式包括下面两个式子：
F（1）= 1；                                                     n=1
F（n）= [F（n-1）+ m + n - 1]%n + 1；     n>1 
有了这个递推公式，再来设计程序就非常easy了。

使用递归方式的代码例如以下（joseph4.cpp）：

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>

int joseph(int n, int m);

int main()
{
	int n,m;
	printf("please input n:");
	scanf("%d",&n);
	printf("please input m:");
	scanf("%d",&m);
	printf("the last number is: %d\n", joseph(n,m));
	return 0;
}

int joseph(int n, int m)
{
	if(n == 1)
		return 1;
	else
		return (joseph(n-1,m)+m+n-1)%n + 1;
}

使用递归函数会占用计算机较多的内存，当递归层次太深时可能导致程序不能运行，因此，也能够将程序直接编写为下面的迭代形式。
joseph5.cpp：

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>

int joseph(int n, int m);

int main()
{
	int n,m;
	printf("please input n:");
	scanf("%d",&n);
	printf("please input m:");
	scanf("%d",&m);
	printf("the last number is: %d\n", joseph(n,m));
	return 0;
}

int joseph(int n, int m)
{
	int last = 1;//相当于F（1）
	int i;
	for(i=2; i<=n; i++)//一步一步求F（2）到F（n）
		last = (last + m + i - 1)%i + 1;
	return last;
}