[再寄小读者之数学篇](2014-05-26 计算行列式)

时间：2014-05-26 19:07:55 阅读：303 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

(来自 succeme) $A$ 是给定的方阵，特征值已知，其他小写字母为复数，用 $A$ 的特征值表出下列行列式的值：

? ? ? ? ? ? ? ? b 0 E a b n ? 1 A n ? 1 a b n ? 2 A n ? 2 ? a b 1 A b 1 A b 0 E a b n ? 1 A n ? 1 ? a b 2 A 2 b 2 A 2 b 1 A b 0 E ? a b 3 A 3 ? ? ? ? ? b n ? 1 A n ? 1 b n ? 2 A n ? 2 b n ? 3 A n ? 3 ? b 0 E ? ? ? ? ? ? ? ?

$\begin{pmatrix} b_0E & b_1A &b_2A^2 &\cdots &b_{n-1}A^{n-1} \\ ab_{n-1}A^{n-1} &b_0E & b_1A &\cdots & b_{n-2}A^{n-2} \\ ab_{n-2}A^{n-2} & ab_{n-1}A^{n-1} & b_0E & \cdots & b_{n-3}A^{n-3} \\ \cdots &\cdots &\cdots &\cdots & \cdots \\ ab_1A & ab_2A^2 & ab_3A^3 &\cdots &b_0E \end{pmatrix}$

解答: (来自 torsor) 首先，若 $a=0$ , 则所求矩阵是分块上三角阵，容易看出其行列式等于 $b_0^{n^2}$ . 以下设 $a\neq 0$ , 并且 $\omega_1,\cdots,\omega_n$ 是 $x^n-a$ 的 $n$ 个不同的根. 设复系数多项式

f (x) = b 0 + b 1 x + ? + b n ? 1 x n ? 1 .

$f(x)=b_0+b_1x+\cdots+b_{n-1}x^{n-1}.$ 考虑如下分块矩阵的乘法：

? ? ? ? ? ? b 0 a b n ? 1 A n ? 1 ? a b 1 A b 1 A b 0 ? a b 2 A 2 b 2 A 2 b 1 A ? a b 3 A 3 ? ? ? ? b n ? 1 A n ? 1 b n ? 2 A n ? 2 ? b 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? I n ω 1 I n ? ω n ? 1 1 I n I n ω 2 I n ? ω n ? 1 2 I n I n ω 3 I n ? ω n ? 1 3 I n ? ? ? ? I n ω n I n ? ω n ? 1 n I n ? ? ? ? ? ?

$\begin{bmatrix} b_0 & b_1A & b_2A^2 & \cdots & b_{n-1}A^{n-1} \\ ab_{n-1}A^{n-1} & b_0 & b_1A & \cdots & b_{n-2}A^{n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ ab_1A & ab_2A^2 & ab_3A^3 & \cdots & b_0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_n & I_n & I_n & \cdots & I_n \\ \omega_1I_n & \omega_2I_n & \omega_3I_n & \cdots & \omega_nI_n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \omega_1^{n-1}I_n & \omega_2^{n-1}I_n & \omega_3^{n-1}I_n & \cdots & \omega_n^{n-1}I_n \end{bmatrix}$

= ? ? ? ? ? ? f (ω 1 A) ω 1 f (ω 1 A) ? ω n ? 1 1 f (ω 1 A) f (ω 2 A) ω 2 f (ω 2 A) ? ω n ? 1 2 f (ω 2 A) f (ω 3 A) ω 3 f (ω 3 A) ? ω n ? 1 3 f (ω 3 A) ? ? ? ? f (ω n A) ω n f (ω n A) ? ω n ? 1 n f (ω n A) ? ? ? ? ? ?

$=\begin{bmatrix} f(\omega_1A) & f(\omega_2A) & f(\omega_3A) & \cdots & f(\omega_nA) \\ \omega_1f(\omega_1A) & \omega_2f(\omega_2A) & \omega_3f(\omega_3A) & \cdots & \omega_nf(\omega_nA) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \omega_1^{n-1}f(\omega_1A) & \omega_2^{n-1}f(\omega_2A) & \omega_3^{n-1}f(\omega_3A) & \cdots & \omega_n^{n-1}f(\omega_nA) \end{bmatrix}$

= ? ? ? ? ? ? I n ω 1 I n ? ω n ? 1 1 I n I n ω 2 I n ? ω n ? 1 2 I n I n ω 3 I n ? ω n ? 1 3 I n ? ? ? ? I n ω n I n ? ω n ? 1 n I n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? f (ω 1 A) f (ω 2 A) ? f (ω n A) ? ? ? ? ? ? ? .

$=\begin{bmatrix} I_n & I_n & I_n & \cdots & I_n \\ \omega_1I_n & \omega_2I_n & \omega_3I_n & \cdots & \omega_nI_n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \omega_1^{n-1}I_n & \omega_2^{n-1}I_n & \omega_3^{n-1}I_n & \cdots & \omega_n^{n-1}I_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f(\omega_1A) & & & & \\ & f(\omega_2A) & & & \\ & & \ddots & & \\ & & & & f(\omega_nA) \end{bmatrix}.$ 由 Laplace 定理容易得到

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ I n ω 1 I n ? ω n ? 1 1 I n I n ω 2 I n ? ω n ? 1 2 I n I n ω 3 I n ? ω n ? 1 3 I n ? ? ? ? I n ω n I n ? ω n ? 1 n I n ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = \prod 1 \leq i < j \leq n (ω j ? ω i) n \neq 0,

$\begin{vmatrix} I_n & I_n & I_n & \cdots & I_n \\ \omega_1I_n & \omega_2I_n & \omega_3I_n & \cdots & \omega_nI_n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \omega_1^{n-1}I_n & \omega_2^{n-1}I_n & \omega_3^{n-1}I_n & \cdots & \omega_n^{n-1}I_n \end{vmatrix}=\prod_{1\leq i<j\leq n}(\omega_j-\omega_i)^n\neq 0,$ 故

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ b 0 a b n ? 1 A n ? 1 ? a b 1 A b 1 A b 0 ? a b 2 A 2 b 2 A 2 b 1 A ? a b 3 A 3 ? ? ? ? b n ? 1 A n ? 1 b n ? 2 A n ? 2 ? b 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = | f (ω 1 A) | ? | f (ω 2 A) | ? | f (ω n A) |,

$\begin{vmatrix} b_0 & b_1A & b_2A^2 & \cdots & b_{n-1}A^{n-1} \\ ab_{n-1}A^{n-1} & b_0 & b_1A & \cdots & b_{n-2}A^{n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ ab_1A & ab_2A^2 & ab_3A^3 & \cdots & b_0 \end{vmatrix}=|f(\omega_1A)|\cdot|f(\omega_2A)|\cdots|f(\omega_nA)|,$ 用

$A$ 的特征值不难将上述行列式的值写出来.

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