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1 (10 分) 设
证明: 参见书 P 82 T 2.1.7(3).
2 (10 分) 设 2
||v||
2
?l(v)(? v∈C).
(1)?
∈H
2
||v?u
?
||
2
?1
2
||u
?
||
2
(? v∈C);
(2) 0
∈C
0
)=inf
v∈C
f(v).
证明: 参见书 P 87 T 2.2.2.
3 (15 分) 设 2
(? x∈H).
?1
?1
∈L(H)
证明: 参见书 P 103 T 2.3.3.
4 (10 分) 设 1
,?,x
n
}
1
,?,f
n
}
i
,x
j
>=δ
ij
(? i,j=1,?,n).
证明: 参见书 P 124 T 2.4.7.
5 (10 分) 设 ?
x∈E
|f(x)|<|f(x
0
)|.
证明: 参见书 P 124 T 2.4.10.
6 (10 分) 设 ?
x=x
证明: 仅证必要性, 充分性类似可证. 由 ?
||=||T||=1.
?
x?x||
2
=
=
=
=
≤
=
(T
?
x?x,T
?
x?x)
||T
?
x||
2
?(T
?
x,x)?(x,T
?
x)+||x||
2
||T
?
x||
2
?(x,Tx)?(Tx,x)+||x||
2
||T
?
x||
2
?||x||
2
(由 Tx=x)
||T
?
||
2
?||x||
2
?||x||
2
0(由 ||T
?
||=1).
7 (15 分) 设
(1)
(2)?
=T
(3)若 ˉ
ˉ
ˉ
ˉ
ˉ
ˉ
ˉ
ˉ
=H
证明:
(1)往证 n
→x, Tx
n
→y
n
,z)=(x
n
,z)(? z∈H)
(2)参见书 P 151 T 2.5.9(1).
(3)参见书 P 151 T 2.5.9(2).
8 (10 分) 设 2
[0,1]→L
2
[0,1]
1
0
φ(t)f(t) dt(? f∈L
2
[0,1])
(1)
(2)2
=λT
σ
(T)
证明:
(1)对 2
[0,1]
=
=
=
=
=
∫
1
0
[φ(x)∫
1
0
φ(t)f(t) dt]?g(x) dx
∫
1
0
φ(t)f(t) dt?∫
1
0
φ(x)g(x) dx
∫
1
0
φ(x)f(x) dx?∫
1
0
φ(t)g(t) dt
∫
1
0
f(x)?[φ(x)∫
1
0
φ(t)g(t) dt] dx
(f,Tg)
?
=T
(2)由
2
f)(x)
=
=
=
=
=
[T(Tf)](x)
φ(x)∫
1
0
φ(t)(Tf)(t) dt
φ(x)∫
1
0
[φ(t)?φ(t)∫
1
0
φ(s)f(s) ds] dt
∫
1
0
φ
2
(t)dt?φ(x)∫
1
0
φ(s)f(s) ds
∫
1
0
φ
2
(t)dt?(Tf)(x)(? f∈L
2
[0,1])
2
=λT,
1
0
φ
2
(t)dt.
n
=λ
n?1
T(n≥1),
σ
(T)=lim
n→∞
||T
n
||
1
n
=lim
n→∞
λ
n?1
n
||T||
1
n
=λ=∫
1
0
φ
2
(t)dt.
9 (10 分) 设 ∞
=max
t∈[0,1]
|x(t)|(? x∈C[0,1]).
n
?x
0
n→∞
x
n
(t)=x
0
(t),? t∈[0,1]∩Q,
n≥1
||x
n
||
∞
<∞.
证明: 必要性. 对 t
: C[0,1]?x?x(t)
n→∞
x
n
(t)=lim
n→∞
f
t
(x
n
)=f
t
(x
0
)=x
0
(t).
n
??
n≥1
||x
n
||
∞
<∞.
g(0)=0, var(g)<∞
}
?
1
0
x(t)dg(t)(? x∈C[0,1]).
n→∞
F(x
n
)=lim
n→∞
∫
1
0
x
n
(t)dg(t)=∫
1
0
x
0
(t)dg(t)=F(x
0
).
应老师要求, 修改了[家里蹲大学数学杂志]第036期泛函分析期末试题, 而得到了本文, 并给出了参考解答.
[家里蹲大学数学杂志]第037期泛函分析期末试题,布布扣,bubuko.com
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原文地址:http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3752359.html