Median of Two Sorted Arrays

标签：math   array   递归   

There are two sorted arrays A and B of size m and n respectively. Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

最后从medianof two sorted arrays中看到了一种非常好的方法。原文用英文进行解释，在此我们将其翻译成汉语。该方法的核心是将原问题转变成一个寻找第k小数的问题（假设两个原序列升序排列），这样中位数实际上是第(m+n)/2小的数。所以只要解决了第k小数的问题，原问题也得以解决。

首先假设数组A和B的元素个数都大于k/2，我们比较A[k/2-1]和B[k/2-1]两个元素，这两个元素分别表示A的第k/2小的元素和B的第k/2小的元素。这两个元素比较共有三种情况：>、<和=。如果A[k/2-1]<B[k/2-1]，这表示A[0]到A[k/2-1]的元素都在A和B合并之后的前k小的元素中。换句话说，A[k/2-1]不可能大于两数组合并之后的第k小值，所以我们可以将其抛弃。

证明也很简单，可以采用反证法。假设A[k/2-1]大于合并之后的第k小值，我们不妨假定其为第（k+1）小值。由于A[k/2-1]小于B[k/2-1]，所以B[k/2-1]至少是第（k+2）小值。但实际上，在A中至多存在k/2-1个元素小于A[k/2-1]，B中也至多存在k/2-1个元素小于A[k/2-1]，所以小于A[k/2-1]的元素个数至多有k/2+ k/2-2，小于k，这与A[k/2-1]是第（k+1）的数矛盾。

当A[k/2-1]>B[k/2-1]时存在类似的结论。

当A[k/2-1]=B[k/2-1]时，我们已经找到了第k小的数，也即这个相等的元素，我们将其记为m。由于在A和B中分别有k/2-1个元素小于m，所以m即是第k小的数。(这里可能有人会有疑问，如果k为奇数，则m不是中位数。这里是进行了理想化考虑，在实际代码中略有不同，是先求k/2，然后利用k-k/2获得另一个数。)

通过上面的分析，我们即可以采用递归的方式实现寻找第k小的数。此外我们还需要考虑几个边界条件：

• 如果A或者B为空，则直接返回B[k-1]或者A[k-1]；
• 如果k为1，我们只需要返回A[0]和B[0]中的较小值；
• 如果A[k/2-1]=B[k/2-1]，返回其中一个；

public class Solution {
    public  double findMedianSortedArrays(int A[], int B[]) {
		if((A.length+B.length)%2==1)return findMedianSorted(A, B, A.length,B.length,(A.length+B.length)/2+1);
		else{
			return (findMedianSorted(A, B, A.length,B.length,(A.length+B.length)/2)+findMedianSorted(A, B, A.length,B.length,(A.length+B                         .length)/2+1))/2;
		}
	}
    public static double  findMedianSorted(int A[], int B[],int m,int n,int k) {
		if(m>n)return findMedianSorted(B, A, n, m, k);
		if(m==0){
			return B[B.length-n+k-1];
		}
		if(k==1){
			return Math.min(A[A.length-m], B[B.length-n]);
		}
		
		int pa=Math.min(k/2,m);
		int pb=k-pa;
		if(A[A.length-m+pa-1]<B[B.length-n+pb-1]){
			return findMedianSorted(A, B, m-pa, n, k-pa);
		}else{
			if(A[A.length-m+pa-1]>B[B.length-n+pb-1]){
				return findMedianSorted(A, B, m, n-pb, k-pb);
			}else{
				return B[B.length-n+pb-1];
			}
		}
	}
}

Median of Two Sorted Arrays

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原文地址：http://blog.csdn.net/u012734829/article/details/42970013