zoj 1088题解--Josephus 问题，加速解决

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<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; background-color: rgb(255, 255, 255);">zoj 1088题目题目大意是，对n栋楼停电，先停第一栋，再隔m栋停一栋。数到最后一栋后从头循环计数，已经断电的不参与计数。要选取适当的m，使得即使其他楼都没电了，但第二栋楼仍然有电。 </span>

如果将该题视为普通的模拟算法，其时间复杂度将高达O(m*n)。由于题目给了很充足的时间和很小的m、n范围，一般的模拟算法即可完成。但有没有更高效的算法呢。

常见的优化方法是每断掉一栋楼的电，问题规模就减一，这样时间复杂度就降到了O(n)。 下面转帖内容：

问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
  k  k+1  k+2  ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2
并且从k开始报0。

现在我们把他们的编号做一下转换：
k     --> 0
k+1   --> 1
k+2   --> 2
...
...
k-2   --> n-2
k-1   --> n-1

变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x‘=(x+k)%n

如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]

递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i;  (i>1)

一般使用这种方法的C/C++时间消耗在20ms以上，占用内存大概在272kB左右。

还可以使用j(2^n)=1的特性来优化计算，即对于原问题，对于n=2^p的情况，直接输出1而避免计算。   最后消耗时间0，空间168kb（c/c++消耗等同)。

下面贴出本人的原代码。这个算法已经非常接近最佳排行160KB。但是不知道如何继续降低空间消耗。 希望在学完COM一书后能有优化。

#include<cstdio>
using namespace std;
//Arthur::Xiaoqiang AN
int joseph(int k,int b)
{
	int res=0;
	for(int i=2;i<=k;++i)
		res=(res+b)%i;
	return res;
}

int main()
{
	int n,t;
	while(scanf("%d",&n),n)
	{
		t=n-1;
		if(t==2||t==4||t==8||t==16||t==32||t==64||t==128)
		{
			printf("2\n");
			continue;
		}
		else
		{
			for(int m=3;;++m)
				if(joseph(t,m)==0)
				{
					printf("%d\n",m);
					break;
				}
		}
	}
}

如果直接模拟，然后输出所有结果到数组，最后备查的话，也可以将时间降为0，但空间消耗可能会大于168KB。  本人用自己前面的代码，将结果输出到文本，并重新查表输出的代码如下： 

（为vim打个广告， 将输出结果改造为数组值的过程全部使用vim实现，最多只需要十次以内的操作，一分钟就能搞定，强烈推荐使用vim编程)。

#include<stdio.h>
int main()
{
	int m[153];
	m[0]=-1;
	m[1]=-1;
	m[2]=-1;
    m[3]=2;
    m[4]=5;
    m[5]=2;
    m[6]=4;
    m[7]=3;
    m[8]=11;
    m[9]=2;
    m[10]=3;
    m[11]=8;
    m[12]=16;
    m[13]=4;
    m[14]=21;
    m[15]=6;
    m[16]=5;
    m[17]=2;
    m[18]=11;
    m[19]=20;
    m[20]=34;
    m[21]=8;
    m[22]=15;
    m[23]=10;
    m[24]=7;
    m[25]=13;
    m[26]=11;
    m[27]=13;
    m[28]=45;
    m[29]=18;
    m[30]=23;
    m[31]=8;
    m[32]=3;
    m[33]=2;
    m[34]=25;
    m[35]=75;
    m[36]=42;
    m[37]=13;
    m[38]=5;
    m[39]=23;
    m[40]=13;
 m[41]=50;
    m[42]=16;
    m[43]=18;
    m[44]=89;
    m[45]=38;
    m[46]=8;
    m[47]=39;
    m[48]=30;
    m[49]=29;
    m[50]=38;
    m[51]=7;
    m[52]=45;
    m[53]=23;
    m[54]=137;
    m[55]=46;
	m[56]=63;
    m[57]=17;
    m[58]=48;
    m[59]=5;
    m[60]=46;
    m[61]=34;
    m[62]=140;
    m[63]=33;
    m[64]=39;
    m[65]=2;
    m[66]=28;
    m[67]=29;
    m[68]=79;
    m[69]=33;
    m[70]=48;
    m[71]=3;
    m[72]=10;
    m[73]=46;
    m[74]=120;
    m[75]=6;
    m[76]=37;
    m[77]=17;
    m[78]=8;
    m[79]=44;
    m[80]=15;
    m[81]=160;
    m[82]=20;
    m[83]=35;
    m[84]=144;
    m[85]=104;
 m[86]=179;
    m[87]=153;
    m[88]=24;
    m[89]=8;
    m[90]=265;
    m[91]=19;
    m[92]=9;
    m[93]=62;
    m[94]=7;
    m[95]=139;
    m[96]=19;
    m[97]=44;
    m[98]=93;
    m[99]=182;
    m[100]=27;
    m[101]=158;
    m[102]=185;
    m[103]=193;
    m[104]=17;
    m[105]=82;
    m[106]=3;
    m[107]=11;
    m[108]=43;
    m[109]=55;
    m[110]=21;
    m[111]=41;
    m[112]=146;
    m[113]=29;
    m[114]=80;
    m[115]=59;
    m[116]=8;
    m[117]=29;
    m[118]=66;
    m[119]=19;
    m[120]=160;
    m[121]=59;
    m[122]=28;
    m[123]=129;
    m[124]=127;
    m[125]=120;
    m[126]=72;
    m[127]=45;
    m[128]=157;
    m[129]=2;
    m[130]=63;
    m[131]=127;
 m[132]=81;
    m[133]=318;
    m[134]=513;
    m[135]=98;
    m[136]=28;
    m[137]=32;
    m[138]=231;
    m[139]=236;
    m[140]=411;
    m[141]=26;
    m[142]=45;
    m[143]=5;
    m[144]=303;
    m[145]=228;
    m[146]=66;
    m[147]=9;
    m[148]=205;
    m[149]=65;
    m[150]=39;
    m[151]=16;

    int n;
    while(scanf("%d",&n),n)
    {
		printf("%d\n",m[n]);
    }
return 0;

}

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原文地址：http://blog.csdn.net/al5hn/article/details/43021301