乘法逆元

在计算一个很大的组合数modP时会用到乘法逆元。即把/a变成*(f(a))，其中f(a)为a在模P意义下的乘法逆元，即a*f(a) mod P=1
计算乘法逆元有两种方法，扩展gcd或基于欧拉公式的快速幂取模。
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扩展gcd就是求解方程ax=1(mod P)的最小整数解.
设ax=1+y*p，即a*f(a,p)=1+p*g(a,p)，把x和y的解看成关于a,p的函数。
a>=p时，设a=p*k+r，则式子变成：
p*k*f(a,p)+r*f(a,p)=1+p*g(a,p)，移项，得r*f(a,p)=1+p*(g(a,p)-k*f(a,p))
那么就得到f(a mod p,p)=f(a,p)，g(a mod p,p)=g(a,p)-[a/p]*f(a,p);
p>=a时差不多一个意思。
所以把f,g设成全局变量，像普通gcd那样做，即时更新f,g即可。
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设欧拉函数phi(x)=在[1,x-1]中与x互质的数字个数。那么欧拉公式：
a^phi(P)=1(mod P)
两边同除a,即可得到a^(phi(P)-1) mod P即为a在模P意义下的乘法逆元。
特例：

如果P是质数，那么phi(P)=P-1.即a的乘法逆元为a^(P-2)，快速幂即可。

#include <iostream>
using namespace std;
int extended_gcd(int a,int b, int &x, int &y)
{
    if (b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    else
    {
        int gcd = extended_gcd(b, a % b, x, y);
        int t=x%mod;
        x=y%mod;
        y=((t-a/b*x)%mod+mod)%mod;
        return gcd;
    }
}
int main()
{
    int i, x, y;
    const int P = 13;
    for (i = 1; i < P; ++i)
    {
        extended_gcd(i, P, x, y);
        while (x < 0) x += P;
        printf("1 div %d = %d\n", i, x);
    }
    return 0;
}