标签：style blog class code tar ext width strong color int art
要表示一个图G=(V,E)，有两种标准的表示方法，即邻接表和邻接矩阵。这两种表示法既可用于有向图，也可用于无向图。通常采用邻接表表示法，因为用这种方法表示稀疏图（图中边数远小于点个数）比较紧凑。但当遇到稠密图（|E|接近于|V|^2）或必须很快判别两个给定顶点手否存在连接边时，通常采用邻接矩阵表示法，例如求最短路径算法中，就采用邻接矩阵表示。
图G=<V，E>的邻接表表示是由一个包含|V|个列表的数组Adj所组成，其中每个列表对应于V中的一个顶点。对于每一个u∈V，邻接表Adj[u]包含所有满足条件（u，v）∈E的顶点v。亦即，Adj[u]包含图G中所有和顶点u相邻的顶点。每个邻接表中的顶点一般以任意顺序存储。
如果G是一个有向图，则所有邻接表的长度之和为|E|，这是因为一条形如（u，v）的边是通过让v出现在Adj[u]中来表示的。如果G是一个无向图，则所有邻接表的长度之和为2|E|，因为如果（u，v）是一条无向边，那么u会出现在v的邻接表中，反之亦然。邻接表需要的存储空间为O（V+E）。
邻接表稍作变动，即可用来表示加权图，即每条边都有着相应权值的图，权值通常由加权函数w：E→R给出。例如，设G=<V，E>是一个加权函数为w的加权图。对每一条边（u，v)∈E，权值w（u，v）和顶点v一起存储在u的邻接表中。
邻接表C++实现：
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 using namespace std; 4 5 #define maxn 100 //最大顶点个数 6 int n, m; //顶点数，边数 7 8 struct arcnode //边结点 9 { 10 int vertex; //与表头结点相邻的顶点编号 11 int weight = 0; //连接两顶点的边的权值 12 arcnode * next; //指向下一相邻接点 13 arcnode() {} 14 arcnode(int v,int w):vertex(v),weight(w),next(NULL) {} 15 arcnode(int v):vertex(v),next(NULL) {} 16 }; 17 18 struct vernode //顶点结点，为每一条邻接表的表头结点 19 { 20 int vex; //当前定点编号 21 arcnode * firarc; //与该顶点相连的第一个顶点组成的边 22 }Ver[maxn]; 23 24 void Init() //建立图的邻接表需要先初始化，建立顶点结点 25 { 26 for(int i = 1; i <= n; i++) 27 { 28 Ver[i].vex = i; 29 Ver[i].firarc = NULL; 30 } 31 } 32 33 void Insert(int a, int b, int w) //插入以a为起点，b为终点，权为w的边 34 { 35 arcnode * q = new arcnode(b, w); 36 if(Ver[a].firarc == NULL) 37 Ver[a].firarc = q; 38 else 39 { 40 arcnode * p = Ver[a].firarc; 41 while(p->next != NULL) 42 p = p->next; 43 p->next = q; 44 } 45 } 46 47 void Insert(int a, int b) //插入以a为起点，b为终点，无权的边 48 { 49 arcnode * q = new arcnode(b); 50 if(Ver[a].firarc == NULL) 51 Ver[a].firarc = q; 52 else 53 { 54 arcnode * p = Ver[a].firarc; 55 while(p->next != NULL) 56 p = p->next; 57 p->next = q; 58 } 59 } 60 61 void Delete(int a, int b) //删除以a为起点，b为终点的边 62 { 63 arcnode * p = Ver[a].firarc; 64 if(p->vertex == b) 65 { 66 Ver[a].firarc = p->next; 67 delete p; 68 return ; 69 } 70 while(p->next != NULL) 71 if(p->next->vertex == b) 72 { 73 p->next = p->next->next; 74 delete p->next; 75 return ; 76 } 77 } 78 79 void Show() //打印图的邻接表（有权值） 80 { 81 for(int i = 1; i <= n; i++) 82 { 83 cout << Ver[i].vex; 84 arcnode * p = Ver[i].firarc; 85 while(p != NULL) 86 { 87 cout << "->(" << p->vertex << "," << p->weight << ")"; 88 p = p->next; 89 } 90 cout << "->NULL" << endl; 91 } 92 } 93 94 void Show2() //打印图的邻接表(无权值） 95 { 96 for(int i = 1; i <= n; i++) 97 { 98 cout << Ver[i].vex; 99 arcnode * p = Ver[i].firarc; 100 while(p != NULL) 101 { 102 cout << "->" << p->vertex; 103 p = p->next; 104 } 105 cout << "->NULL" << endl; 106 } 107 } 108 int main() 109 { 110 int a, b, w; 111 cout << "Enter n and m："; 112 cin >> n >> m; 113 Init(); 114 while(m--) 115 { 116 cin >> a >> b; //输入起点、终点 117 Insert(a, b); //插入操作 118 Insert(b, a); //如果是无向图还需要反向插入 119 } 120 Show2(); 121 cout << "Delete an edge:"; 122 cin >> a >> b; 123 Delete(a, b); 124 Delete(b, a); 125 Show2(); 126 return 0; 127 }
邻接表表示法也有潜在的不足之处，即如果要确定图中边（u,v）是否存在，只能在顶点u邻接表Adj[u]中搜索v，除此之外没有其他更快的办法。这一不足可通过图的邻接矩阵表示法来弥补，但要（在渐进意义下）以占用更多的存储空间为代价。
在图G=(V,E)的临界矩阵表示法中，假定各顶点按某种任意的方式编号为1,2,···，|V|，那么G的邻接矩阵为一个|V|*|V|的矩阵A=(a[i][j])，它满足：
观察无向图的邻接矩阵会发现，它是沿主对角线对称的。在一个无向图中，（u,v）和（v,u）表示同一条边，故无向图的邻接矩阵A的转置矩阵就是它本真。在某些应用中，可以只存储邻接矩阵的对角线以及对角线以上的部分，这样一来，图所占用的存储空间几乎可以减少一半。
邻接矩阵也可以用来表示加权图。例如，如果G=<V，E>是一个加权图，其权值函数为w，对于边（u，v）∈E，其权值w（u，v）就可以简单地存储在邻接矩阵的第u行第v列的元素中。如果边不存在，则可以在矩阵的相应元素中存一个NIL值，在很多问题中，对这样的元素赋0或∞会更为方便些。
邻接矩阵C++实现：
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 using namespace std; 4 5 #define maxn 100 6 #define INF 1xffffff //预定于的最大值 7 int n, m; //顶点数、边数 8 int g[maxn][maxn]; //邻接矩阵表示 9 10 void Init() 11 { 12 for(int i = 1; i <= n; i++) 13 for(int j = 1; j <= n; j++) 14 g[i][j] = 0; //讲所有顶点度数置零，若为带权图，则置为INF 15 } 16 void Show() //打印邻接矩阵 17 { 18 for(int i = 1; i <= n; i++) 19 { 20 for(int j = 1; j <= n; j++) 21 cout << g[i][j] << " "; 22 cout << endl; 23 } 24 } 25 int main() 26 { 27 int a, b; 28 cout << "Enter n and m:"; 29 cin >> n >> m; 30 while(m--) 31 { 32 cin >> a >> b; //输入为边的始点、终点，若有权，还需输入权w 33 g[a][b] = 1; //a、b间存在边，将g[a][b]置1，若有权，则将其置为权值 34 g[b][a] = 1; //对于无向图，还要插入边(b，a） 35 } 36 Show(); 37 return 0; 38 }
（文章以及相关代码参考算法导论编写）
图基本算法 图的表示方法 邻接矩阵 邻接表,码迷,mamicode.com
标签：style blog class code tar ext width strong color int art
原文地址：http://www.cnblogs.com/dzkang2011/p/graph_1.html
