51Nod 1228 伯努利数

/*51NOD 1228
  题意：
  S(k,n)=1^k+2^k+...+n^k
  求自然数幂和对1e9+7取模。
  限制：
  1<= n <= 10^18; 1 <= k <= 2000
  思路：
  伯努利数
  S(k,n)=S(k,n)=1/(k+1) * ( C(k+1,k)*B[k]*(n+1)^1 + C(k+1,k-1)*B[k-1]*(n+1)^2 + ... + C(k+1,0)*B[0]*(n+1)^(k+1) )   (B[i]为伯努利数)
  而B[n]有：
  B[n]=-1/(n+1) * ( C(n+1,0)*B[0] + C(n+1,1)*B[1] + ... + C(n+1,n-1)*B[n-1] )
  所以B[0]...B[k]可以O(k^2)预处理出来，然后对于每个S(k,n)可以O(k)算出来。
   */
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define LL __int64
const int MOD = 1000000007;
LL Ext_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y)
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    LL ret = Ext_gcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return ret;
}

LL Inv(LL a, int m)   //求逆元
{
    LL d, x, y, t = (LL)m;
    d = Ext_gcd(a, t, x, y);
    if(d == 1) return (x % t + t) % t;
    return -1;
}

const int N = 2005;

LL B[N], C[N][N];

void init()
{
    for(int i = 0; i < N; ++i)
        C[i][0] = C[i][i] = 1;
    for(int i = 2; i < N; ++i)
        for(int j = 1; j < N; ++j)
            C[i][j] = (C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1]) % MOD;
    B[0] = 1;
    for(int i = 1; i < N; ++i)
    {
        LL tmp = 0;
        for(int j = 0; j < i; ++j)
            tmp = (tmp + C[i + 1][j] * B[j]) % MOD;
        B[i] = (tmp * -(Inv(i + 1, MOD)) % MOD + MOD) % MOD;
    }
}

LL p[N];

void gao(LL n, LL k)
{
    p[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= k + 1; ++i)
        p[i] = (p[i - 1] * ((n + 1) % MOD)) % MOD;
    LL ans = 0;
    for(int i = 0; i <= k; ++i)
        ans = (ans + C[k + 1][i] * B[i] % MOD * p[k + 1 - i]) % MOD;
    ans = (ans * Inv(k + 1, MOD) % MOD + MOD) % MOD;
    printf("%I64d\n", ans);
}

int main()
{
    init();
    int T;
    LL n, k;
    scanf("%d", &T);
    while(T--)
    {
        scanf("%I64d%I64d", &n, &k);
        gao(n, k);
    }
    return 0;
}