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方法I：动态规划
另sum[i]表示从i开始的最大子串和，则有递推公式：sum[i] = max{A[i], A[i] + sum[i+1]}
因为递推式只用到了后一项，所以在编码实现的时候可以进行状态压缩，用一个变量即可
代码：
1 int maxSubArray(int A[], int n) { 2 int sum = A[n - 1]; 3 int maxSum = sum; 4 5 for (int i = n - 2; i >= 0; i--) { 6 sum = max(A[i], sum + A[i]); 7 maxSum = max(maxSum, sum); 8 } 9 10 return maxSum; 11 }
时间复杂度O(n)，空间复杂度O(1)
方法II：扫描法（姑且这么称呼吧）
这是网上比较流行的一种做法，本质上还是动态规划+状态压缩。参考这篇博文
代码：
1 int maxSubArray(int A[], int n) { 2 if (n == 0) 3 return 0; 4 5 int max_ending_here = A[0]; 6 int max_so_far = A[0]; 7 for(int i = 1; i < n; ++i) 8 { 9 if (max_ending_here < 0) 10 // So far we get negative values, this part has to be dropped 11 max_ending_here = A[i]; 12 else 13 // we can accept it, it could grow later 14 max_ending_here += A[i]; 15 16 max_so_far = max(max_so_far, max_ending_here); 17 } 18 return max_so_far; 19 }
时间复杂度O(n)，空间复杂度O(1)
方法III：分治法
假设求A[l..r]的最大子串和
首先将其分成两半A[l..m]和A[m+1..r]，其中m=(l+r)/2，并分别求递归求出这两半的最大子串和，不妨称为left，right。如下图所示：
A[l..r]的连续子串和可能出现在左半边（即left），或者可能出现在右半边（即right），还可能出现在横跨左右两半的地方（即middle），如下图橙色部分所示：
当然，middle完全有可能覆盖left或right，它可能的范围入下图所示：
那么，如何求middle？貌似没有什么简单的方法，只能从中间向两遍扫，也就是把上图种的范围扫一遍。具体怎么扫呢？见方法I和方法II
是不是突然觉得很坑爹？既然知道最后求middle要扫一遍，还不如一开始就从l到r扫一遍求max得了，还费什么劲儿求left和right呢？求left和right的作用仅限于缩小扫描的范围。
代码：
1 int diveNConquer(int A[], int l, int r) { 2 if (l == r) 3 return A[l]; 4 5 int m = (l + r) / 2; 6 int left = diveNConquer(A, l, m); 7 int right = diveNConquer(A, m + 1, r); 8 int middle = A[m]; 9 for (int i = m - 1, tmp = middle; i >= l; i--) { 10 tmp += A[i]; 11 middle = max(middle, tmp); 12 } 13 for (int i = m + 1, tmp = middle; i <= r; i++) { 14 tmp += A[i]; 15 middle = max(middle, tmp); 16 } 17 18 return max(middle, max(left, right)); 19 } 20 21 int maxSubArray(int A[], int n) { 22 return diveNConquer(A, 0, n - 1); 23 }
分析一下时间复杂度，设问题的工作量是T(n)，则有T(n) = 2T(n/2) + O(n)，解得T(n) = O(nlogn)。看看，效率反而低了不少。
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原文地址：http://www.cnblogs.com/boring09/p/4252780.html
