Unique Paths

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A robot is located at the top-left corner of a m x n grid (marked ‘Start‘ in the diagram below).

The robot can only move either down or right at any point in time. The robot is trying to reach the bottom-right corner of the grid (marked ‘Finish‘ in the diagram below).

How many possible unique paths are there?

Above is a 3 x 7 grid. How many possible unique paths are there?

Note: m and n will be at most 100.

（1）题意为给定m行n列，求从第0行第0列走到第m行第n列的路径有多少条。

（2）对于本题，首先想到的是通过递归来实现，当行数为1或者列数为1时，路径只有一条；我们先从行开始，假设从第1行第1列元素开始，向右到达右下角，则可以看做是去除第一列后剩余行列对应路径，以函数f(m,n)表示路径条数，则有f(m,n)=f(1,n-1)+f(2,n-1),...,+f(n,n-1)，而f(1,n)=f(m,1)=1，则通过递归即可得到答案，只是递归效率太低，Oj肯定会超时，所以，不能选用这种方法。

（3）考虑到m行n列正好对应一个二位数组，而我们发现f(1,n)=f(m,1)=1，所以，我们对整个二维数组进行拆分，假设拆分第一行，则第一行中任意位置作为终点对应的条数都为1，同理拆分第一列也是；这样，对应二维数组的第一行第一列的值就都为1了；假设数组为2*2，则我们发现到达右下角的路径数为f(2,2)=2=f(2,1)+f(1,2)，正好为该位置对应上方和左方值之和；同理，当数组为3*3时，f(3,3)=6=f(3,2)+f(2,3)={f(3,1)+f(2,2)}+{f(1,3)+f{2,2}}={1+f(1,1)+f(1,1)}+{1+f(1,1)+f(1,1)}=6；同理，当数组为m*n时，f(m,n) = f(m-1,n)+f(m,n-1)=.......。所以，我们只需要对二维数组中每个位置遍历赋值即可得到最后的结果，详情见下方代码。

（4）希望本文对你有所帮助。

算法代码实现如下：

	/**
	 * @liqq 递归算法能够实现 但是会超时 oj不通过
	 */
	public static int get(int row, int col){
		if(row<=0 || col <=0) return 0;
		if(row==1) return 1;
		if(col==1) return 1;
		int result = 0;
		for (int i = 1; i <=row; i++) {
			result+=get(i,col-1);
		}
		return result;
	}

	/**
	 * @author 二维数组实现
	 */
	public static int getResult(int m, int n){
		int[][] arr   = new int[m][n];
		
		for (int i = 0; i < m; i++) {
			arr[i][0]=1;
		}
		
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			arr[0][i]=1;
		}
		
		for (int i = 1; i < m; i++) {
			for (int j = 1; j < n; j++) {
				arr[i][j]=arr[i-1][j]+arr[i][j-1];
			}
		}
		
		return arr[m-1][n-1];
	}

Unique Paths

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