1 ( 10 分 ) 设
证明: 必要性. 设
2 ( 12 分 ) 设
(1)如果
(2)如果
证明:
(1)设
(2)设
3 ( 10 分 ) 设
证明: 设
4 ( 10 分 ) 设 \mathcal{X}
证明: 记 \dps{M_i=span_{j\neq i}\sed{x_j}}
5 ( 10 分 ) 设 \mathcal{H} 是 Hilbert 空间, T\in \mathcal{L}(\mathcal{H}) 且 ||T||\leq 1 . 证明: 若 Tx=x , 则 T^*x=x .
证明: 由 Tx=x
及 ||T||\leq 1
知 ||T||=1,
6 ( 16 分 ) 设 \mathcal{H}
是 Hilbert 空间, T:\mathcal{H}\to
\mathcal{H}
是线性算子且满足 (Tx,y)=(x,Ty)\quad (\forall\ x,y\in
\mathcal{H}).
(1) T^*=T , 此时称 T 为自共轭算子;
(2) 对任意 x\in \calH , (Tx,x) 是实的;
(3) 算子 T 的本征值是实的;
(4) 对应于 的不同本征值 \lambda_1 , \lambda_2 的本征元 x_1 , x_2 是正交的.
证明:
(1) 往证 T
是闭算子, 而由 D(T)=\mathcal{H}
及闭图像定理知 T\in \mathcal{L}(\mathcal{H})
. 事实上, 设 \mathcal{H}\ni x_n\to x,\ Tx_n\to
y
, 则于 (Tx_n,z)=(x_n,z)\quad (\forall\ z\in
\mathcal{H})
(2) 由 \beex\bea
(Tx,x)&=(x,Tx)\quad\sex{T\mbox{ 自共轭}}\\
&=\overline{\sex{Tx,x}}\quad\sex{\mbox{内积定义}} \eea\eeex
(3) 设 \lambda\in
\bbC
适合 \bex \exists\ 0\neq x\in \calH,\ s.t.\
Tx=\lambda x, \eex
(4)由 \bex &
&(\lambda_1-\lambda_2)(x_1,x_2)\\ & &=
(\lambda_1x_1,x_2)-(x_1,\lambda_2x_2)\quad\sex{\lambda_i\in\bbR}\\ &
&=(Tx_1,x_2)-(x_1,Tx_2)\quad\sex{x_i \mbox{ 是 } T \mbox{ 的相对于
}\lambda_i\mbox{ 的本征元}}\\ & &=0\quad\sex{T\mbox{ 自共轭}}. \eex
7 ( 12 分 ) 设 \varphi\in C[0,1]
, T:\ L^2[0,1]\to L^2[0,1]
是由 (Tf)(x)=\varphi(x)\int_0^1\varphi(t)f(t)\
dt\quad(\forall\ f\in L^2[0,1])
(1) T 是自共轭算子 (定义见题 6);
(2) \exists\ \lambda\geq 0 , 使得 T^2=\lambda T , 由此求出 T 的谱半径 r_\sigma(T) .
证明:
(1)对 \forall\
f,\ g\in L^2[0,1]
, 由 \bex (Tf,g) &=&\int_0^1 \sez{
\varphi(x)\int_0^1 \varphi(t)f(t)\ dt }\cdot g(x)\ dx\\ &=&\int_0^1
\varphi(t)f(t)\ dt \cdot \int_0^1 \varphi(x)g(x)\ dx\\ &=&\int_0^1
\varphi(x)f(x)\ dx \cdot \int_0^1 \varphi(t)g(t)\ dt\\ &=&\int_0^1
f(x)\cdot \sez{\varphi(x)\int_0^1 \varphi(t)g(t)\ dt}\ dx\\ &=&(f,Tg)
\eex
(2)由 \bex
(T^2f)(x) &=&[T(Tf)](x)\\ &=&\varphi(x)\int_0^1
\varphi(t)(Tf)(t)\ dt\\ &=&\varphi(x) \int_0^1 \sez{ \varphi(t) \cdot
\varphi(t) \int_0^1 \varphi(s)f(s)\ ds }\ dt\\ &=&\int_0^1
\varphi^2(t)dt\cdot \varphi(x)\int_0^1 \varphi(s)f(s)\ ds\\ &=&\int_0^1
\varphi^2(t)dt\cdot (Tf)(x)\quad (\forall\ f\in L^2[0,1]) \eex
8 ( 10 分 ) 设 \scrX 是赋范线性空间, M 是 \scrX 的闭子空间. 证明: 如果 \sed{x_n}\subset M 且 x_n\rhu x_0 , 则 x_0\in M .
证明: 用反证法. 若 x_0\not\in M
, 则 d=\rho(x_0,M)>0
, 由点与线性子空间分离的 Hahn-Banach 定理, \bex \exists\
f\in\scrX^*,\ s.t.\ f(x_0)=d>0,\quad f|_M=0. \eex
9 ( 10 分 ) 设 \calH 是 Hilbert 空间, \sed{x_n}\subset \calH , x\in \calH . 证明:
(1) x_n\rhu x 当且仅当对任意 y\in\calH , (x_n,y)\to (x,y) ;
(2) x_n\to x 当且仅当 x_n\rhu x 且 \sen{x_n}\to \sen{x} .
证明:
(1) 这是 Riesz 表示定理与弱收敛定义的直接结论.
(2) 必要性显然. 往证充分性. \bex
\sen{x_n-x}^2&=&\sex{x_n-x,x_n-x}\\
&=&\sen{x_n}^2-\sex{x_n,x}-\sex{x,x_n}+\sen{x}^2\\
&\to&\sen{x}^2-\sex{x,x}-\sex{x,x}+\sen{x}^2=0\quad\sex{n\to\infty}.
\eex
[家里蹲大学数学杂志]第041期中山大学数计学院 2008 级数学与应用数学专业《泛函分析》期末考试试题 A,布布扣,bubuko.com
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