Topcoder SRM 648 Div1 250

标签：数学   插空法   

Topcoder SRM 648 Div1 250

Problem

  给一个长度为N的"AB"字符串S，S只含有两种字符‘A‘ 或 ‘B‘，设pair(i，j)（0=<i<j<N）表示一对 i，j 使得S[i]=‘A‘，S[j]=‘B‘。现给定一个K，求字符串S，使得pair(i，j)的个数恰好为K。若不存在，则返回空串。

Limits

Time Limit(ms): 2000

Memory Limit(MB): 256

N: [2, 50]

K: [0 , N*(N－1)/2 ]

Solution

  若K>(N/2)*(N－N/2)，则不存在。其余情况均存在，用插空法求S即可。

More

  下面小证为何“若K>(N/2)*(N－N/2)，则不存在”。

  考虑这样一串S：“AAA..ABBB....B”，S左边为一串“AAA...”，右边为一串"BBB..."。如果任意交换其中一对 ‘A‘，‘B‘，那么pair的总数一定会减小，所以pair总数最大的串一定是形如S的。而形如S的串中，当A的个数等于 N/2 时，pair总数最大。因此当K>(N/2)*(N－N/2)时，无解，其余情况均有解。

  当K<=(N/2)*(N－N/2)，一定可以通过“插空法”找出所需S。方法如下：设S="AAA..."，其中有 N/2 个 ‘A‘，现要往其中插入(N－N/2)个 ‘B’，每次可以O(1)确定当前的 ‘B‘ 插在哪一个‘A‘ 后面，不断维护S和K即可。

Complexity

Time Complexity: O(N)

Memory Complexity: O(N)

Source

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Code

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原文地址：http://blog.csdn.net/uestc_peterpan/article/details/43417419