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第五章：动态模型（微分方程建模）
· 预报与决策类型
· 描述对象特征随时间或空间的演变过程；
· 分析对象特征的变化规律；
· 预报对象特征的未来特征；
· 研究控制对象特征的手段等。
这类题，要求的是一种趋势，描述一种变化过程，也可以称为预测。（属于动态）
1. 传染病模型
a) 问题描述：描述产染病的传播过程；分析受感染人数的变化规律；预报传染病高潮到来的时刻；预防传染病蔓延的手段；按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型；之后使用测试分析，确定最好的模型。
b) 问题模型：
这种类型题目，需要依据不同的假设，来建立不同的模型（一般要多个），之后再通过测试分析，确定建模的可靠性。
c) 最好可以在最后进行一次全部综合的区别，分析。
2. 经济增长模型
a) 通过增加生产、发展经济、增加投资、增加劳动力、提高技术
· 建立产值与资金劳动力之间的关系；
· 研究资金与拉动力的最佳分配（静态）；
· 调节资金与劳动力的增长率，使经济（生产率）增长。
b) 使用现成的道格拉斯生产函数；
c) 资金与拉动力的最佳分配（静态）；
d) 经济（生产率）增长的条件（动态模型）。
3. Lanchester战争模型
a) 问题描述：第一次世界大战时提出的预测战争结果的数学模型；分为不同的三种战争类型。
b) 问题假设：
i. 只考虑双方兵力多少和战斗力强弱；
ii. 兵力因战斗减员，因增援而增加；
iii. 战斗力与射击次数、命中率等相关；
c) 建立一般模型；
d) 建立不同三种战争类型的模型（一般要建模，作图进行分析比较）。
4. 药物在体内的分布与排除
a) 问题描述：药物进入人体形成血药浓度？
b) 问题要求：
i. 血药浓度需保持在一定范围内：给出药物方案射击；
ii. 研究药物在体内吸收、分布和排出的过程：药物动力学；
iii. 建立房室模型：药物动力学的基本步骤；
iv. 本节讨论二室模型：中心室（心、肺、肾等）和周边室（四肢、肌肉等）。
c) 模型假设：中心室和周边室溶剂不变；药物转移顺序；药物转移速率及排出体外速率，与该室血药浓度成正比等。（必须是合理假设！）
d) 模型建立：线性常系数非齐次方程。
e) 模型求解：
i. 假定不同的初始条件；
ii. 在不同的条件下进行参数估计；
5. 香烟过滤嘴模型：
a) 问题描述：
i. 过滤嘴的作用与材料、长度的关系；
ii. 建立吸烟过程的数学模型；
iii. 分析吸入的毒物量与哪些因素有关，定量关系如何？
b) 模型分析：
i. 分析吸烟时毒物进入人体的过程；
ii. 设想一个机器人，在典型环境下吸烟，其方式和外部环境不变。
c) 模型假设：
i. l1：烟草长 l2：过滤嘴长 l = l1 + l2；
毒物M均匀分布，密度w0 = M / l1
ii. 点燃处毒物随延误进入空气和延香烟穿行的数量比是 a’:a，a’ + a = 1
iii. 未点燃的烟草和过滤嘴对随烟雾穿行的毒物的吸收率分别为b和B；
iv. 延误沿香烟穿行速度是常数v，香烟燃烧速度是常数u。 v>>u
d) 定性分析：大致的一种变化趋势，导致吸入人体毒物总量的变化趋势分析
B↑，l2↑，M?，a?，v? è Q?
B↑，l1↑，u↑? è Q?
e) 模型建立（结合画图）：
t=0，x=0，点燃香烟； q(x,t)：毒物流量；w(x,t)：毒物密度；w(x,0) = w0
Q = q(l,t)dt, T = l1/u （0<=t<=T）
f) 进行求解，得出Q。
g) 分析的话，可以从加过滤嘴与不加过滤嘴两种情况Q的的多少来进行分析。
h) 之后依据不同的假设变量情况，得出结论。
6. 烟雾的扩散与消失
a) 问题描述：炮弹在空中爆炸，烟雾向四周扩散，形成圆形不透光区域；
不透光区域不断扩大，然后区域边界逐渐明亮，区域缩小，最后延误消失；
建立了模型描述延误扩散和消散的过程，分析消散时间与各因素的关系。
b) 问题分析：
i. 无穷空间由瞬时点源导致的扩散过程，用二阶偏微分方程描述烟雾浓度的变化；
ii. 观察的烟雾消失与烟雾对光线的吸收，以及仪器对明暗的灵敏程度有关。
c) 模型假设：
i. 烟雾在无穷空间扩散，不受大地和风的影响；扩散服从热传导定律；
ii. 光线传过烟雾时光强的减少与烟雾浓度成正比；无烟雾的大气不影响光强。
iii. 传过烟雾进入仪器的光线只有明暗之分，明暗界限由仪器灵敏度决定。
d) 模型建立：
i. 烟雾浓度C(x,y,z,t)的变化规律：依据热传导定律；
ii. 传过烟雾光强的变化规律；
iii. 仪器灵敏度与烟雾明暗界限；
iv. 不透光区域边界的变化规律（核心）。
等等，需要查询一些资料进行函数方程式的建模分析，初学，先有一个大体概念，对具体先不做考虑，等之后分析。
e) 结果分析
观测到不透光区域边界达到最大时刻t1，可以预报烟雾消失的时刻t2。
总结：
1. 传染病模型：依据不同假设，进行不同情况下的建模分析；
2. 经济增长模型：依据现有的道格拉斯生产函数建模；之后分析一个静态的最佳配比；再建立一个经济增长的动态模型。
3. Lanchester战争：主要是做好假设。
4. 药物在体内的分布与排除：这种类型的题目，一般纯建模是无法进行的，都要参考一定的文献。建立方程之后，根据不同的初始条件，进行不同的参数估计，模型求解。
5. 香烟过滤嘴模型：具体问题，数字化。
6. 烟雾的扩散与消失：对于特定的问题，可以寻求特定的描述方式，有时需要搜索相关书籍资料来帮助建模理解。
数学建模学习笔记（第五章：6个动态模型-微分方程的建立与分析）
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