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题目链接:
http://acm.nefu.edu.cn/JudgeOnline/problemshow.php?problem_id=118
题目大意:
问:计算N!末尾0的个数。(1 <= N <= 1000000000)。
思路:
N是100000000规模的数,直接计算结果,再统计0的个数显然不科学。将末尾0分解为2*5。
每一个0必然和一个因子5对应,但是一个数的因式分解中一个因子5不一定对应一个0。因为
还需要一个因子2,才能实现一一对应。
对于N!,在因式分解中,因子2的个数明显大于因子5的个数。所以如果存在一个因子5,那么
必然对应着N!末尾的一个0。这道题就变为了求N!中因子5的个数。由算术基本定理的性质(5)
可知:N!在素因子分解中素数p的幂为[N/p] + [N/p^2] + [N/p^3] + …,可以直接循环计算。
此时,5的幂就是N!中因子5的个数,也就是N!末尾0的个数。
附算术基本定理的定义和性质:
定理:
每个大于1的正整数N都可以被唯一地写成素数的乘积,在乘积中的素因子按照非降序排列。
正整数N的分解式 N = p1^α1 * p2^α2 * p3^α3 * … * pk^αk 称为N的标准分解式,其中
p1,p2,…,pk是素数,p1 < p2 < p3 < … < pk,且α1,α2,α3,…,αk是正整数。
性质:
(1)若N的标准素因子分解表达式为:N = p1^α1 * p2^α2 * p3^α3 * … * pk^αk,设d(N)
为N的挣银子个数, Φ(N)为N的所有因子之和,则有
d(N) = (α1 + 1) * (α2 + 1) * (α3 + 1) * … * (αk + 1)
Φ(N) = ( p1^(α1 + 1) )/(p1 - 1) * ( p2^(α2 + 1) )/(p2 - 1) * … * ( pk^(αk + 1) )/(pk - 1)
(2)设a = p1^α1 * p2^α2 * … * pk^αk,b = p1^ β1 * p2^β2 * … * pk^βk,则有
gcd(a,b) = p1^min(α1,β1) * p2^min(α2,β2) * … * pk^min(αk,βk)
lcm(a,b) = p1^max(α1,β1) * p2^max(α2,β2) * … * pk^max(αk,βk)
(3)如果a和b为实数,则
max( gcd(a,b) ) + min( gcd(a,b) ) = a + b
(4)如果a和b是正整数,则
lcm(a,b) = a*b/gcd(a,b)
(5)N!的素因子分解中的素数p的幂为
[N/p] + [N/p^2] + [N/p^3] + …
AC代码:
#include<iostream> #include<algorithm> #include<cstdio> #include<cstring> using namespace std; int main() { int T,N; cin >> T; while(T--) { cin >> N; int t,five,sum; t = N; five = 5; sum = 0; while(five <= t) { sum = sum + t/five; five *= 5; } cout << sum << endl; } return 0; }
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原文地址:http://blog.csdn.net/lianai911/article/details/43459087