机器学习基石——第5-6讲.Training versus Testing

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本栏目（机器学习）下机器学习基石专题是个人对Coursera公开课机器学习基石（2014）的学习心得与笔记。所有内容均来自Coursera公开课Machine Learning Foundations中Hsuan-Tien Lin林轩田老师的讲解。（https://class.coursera.org/ntumlone-002/lecture）

第5讲-------Training versus Testing

从这一讲开始，讲的问题就是属于Why Can Machines Learn的范畴了。

一、Hypothesis set大小的重要性

上一讲的一开始我们说Learning好像不可行，后来我们逐步发现Learning在某些条件下是可行的。这些条件就是，Learning的Data符合统计学意义上的某种分布（因此可以映射为从罐子里抽弹珠这样的问题），另外hypothesis set的选择是有限的。这样看起来Learning是可行的。

过去的四节课，第一节课就是说Learning的目标就是想找到一个g可以尽可能地接近未知的f；第二节课的时候我们不知道怎么做，但是决定先在看过的训练资料上做到尽可能好，也就是想办法让E_in(g) ≈ 0；第三节课我们承认其实是在很特定的情况下做Learning，用批次batch的数据、用supervised监督式的学习、用二元分类等等；第四节课我们终于想办法把E_in(g)和E_out(g)连起来约等于了。那，第二节课做的事情——将E_in(g)弄得越小越好，便就真的实现了我们一开始实现的目标：我希望E_out(g)要很小。

由此可见，Learning的核心已经被拆成如下的两个问题，那hypothesis set的大小M是否会影响这两个问题的解决呢：
M很小的时候，E_in(g)与E_out(g)可以认为是很接近了，可是学习算法选择有限了，不一定能选到一个E_in(g)很小接近0的hypothesis；
M很大的时候，选择很多，学习算法可以选到一个很好的hypothesis，但是E_in(g)与E_out(g)不一致的坏情况发生的概率就变大了。

因此如此看来，M的正确选择是很重要的。至于无限大的M到底是不是会很糟糕，这个问题可能需要接下来的多节课之后才能得到答案。

二、无限的M，Hoeffding不等式

如果我们回顾一下Hoeffding不等式推导的过程，就会发现不等式右边求解的是一个概率上限，是将M种hypothesis坏事件发生的概率直接加和得到的结果。仔细想一下，如果两条直线很接近，那么他们出现坏事件的情况是会overlap的，所以直接加和的结果是over-estimate的。这样看来，针对M是无限的情况，我们有必要将hypothesis set进行分类，从而得到更准确的概率上限。

很明显，训练数据是有限的，尽管hypothesis set中有无限多条线，但是可以按照对训练数据分类情况进行分类。举个例子，当训练数据只有1个时，无限的hypothesis set中就只有两类：1类将其分为+1，另一类将其分为-1；同理，当训练数据只有2个时，无限的hypothesis set中就只有8类。当训练数据只有3个时呢，初步看起来好像是8个，真的如此吗？考虑如下一种特殊的情况：

How about训练数据有4个时？如下图所示，画大叉的分类结果是没法用一条直线分出来的，也就是说这个时候hypothesis的结果只有7 x 2 = 14种，还下图对于完全相反的分类结果没有画出，例如第一幅全部分类为圈圈对应的就是分类结果全部分类为叉叉。

由此可见，对于N大小的训练数据，超平面有效的种类数量是有限的，肯定小于2^N个，那么我们就可以用这个有限的种类数量来代替原来Hoeffding不等式右边无限的M，如下所示。

三、Dichotomies的有效数量

上一节讲的将无限的hypothesis set按照对训练数据的分类情况，有一个专有名词叫做Dichotomies。它就是指hypothesis set将大小为N的训练数据分成的不同情形的集合。本节主要想求出Dichotomies的大小，这样就可以用来替换原来Hoeffding不等式中无限的M了。

经过上一节的分析，我们发现Dichotomies的大小是依赖于训练数据的分布情况的。那么我们就定义Grow Function为所有训练数据的Dichotomies最大者好了。

要想现在求出PLA的hypothesis set的Dichotomies大小还比较困难，我们可以先来看一些简单的hypothesis set的Dichotomies大小的求解。

案例一。h(x) = sign(x - a)。那么这种情况下Dichotomies大小为N+1。

案例二。h(x) = +1 iff x 在一个凸形状中，否则=-1。假设N个训练数据都分布在一个圆形上，任意选希望被分为+1的数据点连成一个凸多边形，只要将这个凸多边形稍微扩大一点点就达到了效果。这样看来Dichotomies大小为2^N，因为任何想要的分类情形都可以实现。

四、Break Point

再想一想，我们想做的事情是什么？想用Growth Function去取代原来无限的M。根据上一节的分析，Growth Function可能为polynomial多项式的，good；也可能为exponential指数级的，bad，因为不等式右边后面一部分随着N指数级减少，而Growth Function却又指数级上升的时候，我们就没法保证在N够大的时候不等式右边是一个很小的概率值。

既然如此，那我们对PLA的Growth Function到底是polynomial还是exponential就更感兴趣了。以前的分析我们只知道它随着N的增大<2^N，但仍不知道它究竟是怎样。

定义Break Point。对于2D的PLA来说，Growth Function对于3个点可以分出所有的2^3 = 8种情形，但是对于4个点就没法分出所有的2^4 = 16中情形了，只有14种。这个时候4就被我们认为是Break Point。那显然对于上面Convex set的Growth Function = 2^N，它的Break Point显然是不存在的。

那我们就有一个猜想了：没有Break Point的hypothesis set对应的Dichotomies大小肯定是2^N，如果有Break Point，是否就代表着Dichotomies大小是多项式级的呢？

第6讲-------Theory of Generalization

这一节的话题是一般化的理论，或者说来探讨一下机器学习是如何做到举一反三的。

一、Break Point的约束

根据上一节的分析，我们知道如下四种情形的Break Point的情况，以及在break point样本量的时候对应的Dichotomies大小。

既然如此，换一个角度来考虑的话那么更General的情况是：如果现在已知minimum break point k = 2，在样本量N不同的情况下对应的Dichotomies大小又是如何的状况呢？k = 2这里的意义就是说任意的两个样本点都无法被shatter到（shatter到的意思：n个样本点的2^n个情形都能出现，这里就是指2个样本点的4种情形都能出现）。

N = 1时，m_H(N)最大为2没有问题，因为这时候都没有两个样本点；N=2时，仔细想一下m_H(N)最大为3，也就是能够shatter到的情形时的4减去任意一种情况即可；那么N = 3时呢？如下图所示，会发现无论再加入那种分类情形，都能找到任意的2个样本被shatter到。所以这时m_H(N)最大为4。

总结一下，k = 2会极大程度上约束着在N > k的样本上m_H(N)的最大值。也就是说，好像只要有一个break point，对未来m_H(N)会是多少会有一个限制约束。

好，既然有这个想法以后，m_H(N)跟我们实际上的hypothesis set有关，我们不如来算一下m_H(N)在有某一个break point的前提下，到底能产生多少种可能性。如果最多的可能性，也即m_H(N)的最大值也是一个多项式的话，那么就可以放心大胆的说m_H(N)也是多项式的。进而，如果能将这个多项式的m_H(N)成功地放进我们原来的Hoeffding不等式的话，也许我们就可以说在PLA这样的无穷hypothesis set上的Learning是做得到的。

二、Bounding Function上限函数

继续上面的想法，定义上限函数Bounding Function：已知最小的break point是k，那么Growth Function的最大值。可以将它想象为：不管Growth Function究竟怎样，只是探讨在排列组合可以有多少种可能。也就是说有一堆的长度是N的圈圈叉叉组成的向量，这些向量其实就是Dichotomy。但是有一个限制，这些长度为N的向量，如果将它的某些维度遮起来只看它的其中k个维度的话，不能看到k个维度的所有的情形，也就是2^k中组合，用我们的术语来说这个k个维度不能出现shatter。

这样的话，我们就可以忽略hypothesis set的具体细节，就只用Bounding Function代表有某一个break point的时候m_H(N)的最大值。咦，这样的话我们的目标就变成了求证B(N, k) 是一个多项式级的了。

根据之前的分析，我们可以得到如下的表格，填上的都是很简单的情形：

填这个表剩下的部分显然更为困难一点。首先尝试从B(4, 3)出发，来找到其与B(3, ?)的某种联系。可以编写一个程序来寻找4个点16种的组合中，找出任意3个没有shatter的最多个向量的组合，如下为11。

然后我们尝试将B(4, 3) = 11的解做一个整理，橘色的解都是成双成对的，x1-x3都是一模一样，而x4一个是圈圈一个是叉叉；而紫色的解则都是形单影只的。如果只看x1-x3，那么B(4, 3) = 2 α + β。B(4, 3)代表的意思是x1-x4的四个点中不能有任意的三个点shatter，也就是说当然x1-x3这三个点不能shatter，所以如图左，α + β必定会<= B(3, 3)；另外我们知道对于 α 被遮住的部分x4是成双成对的也即x4是shatter的，如果同时x1-x3中有任意的两个点shatter再加上x4则此时便有了3个点是shatter的这也不合理，所以α 必定<= B(3, 2)如图右。因此，有B(4, 3) = 2 α + β <= B(3, 3) + B(3, 2)。

更一般化一点便有：B(N, k) =  2 α + β <= B(N-1, k) + B(N-1, k-1)。所以我们便能完善之前的那张表格了：

根据这个递推公式进一步的推导，很容易得到Bounding Function的上限，如下图所示。B(N, k)是多项式的，那么也就说明了只要有break point存在，那么m_H(N)也是多项式的。数学上可以证明，下面这个B(N, k)的“<=”实际上就是“=”。

这样，我们进一步来看之前分析过的几种hypothesis set的m_H(N)的大小。如下图，我们也就得到了，2D的感知机hypothesis set的m_H(N)是多项式的。只要有一个break point的存在，那么hypothesis set的Dichotomies大小的Growth Function成长函数就是多项式级的。

三、最终的不等式

好，那我们现在知道了Growth Function、Bounding Function这些观念，而且知道了Growth Function是多项式的。那我们能不能用这个Growth Function来替换原来Hoeffding不等式中的M呢？实际上事情没有那么简单。

最后的最后，我们能够做到事情是一个长得差不多的版本，如下图所示。可以看到实际上的版本首先需要样本量N够大；另外比原来多了3个额外的常数。

为什么会这样的证明非常的的technical，详细的证明也不是本课能cover的。但是，这个证明里面用到的技巧和我们之后的很多讨论都还蛮有关系的。所以接下来我们会从比较宏观的角度分析这三个常数出现的原因。

第一步，想办法将式子中的E_out(h)替换掉。hypothesis set只要有一个h发生坏事情也就是E_in(h)与E_out(h)差别很大，我们就说这个训练数据D不是好的数据，我们希望坏数据D发生的概率不要太高。

这个式子的困难之处，E_in(h)与训练数据有关只有有限个，最多只有Growth Function在N时候的取值，上限当然是2^N；可是E_out(h)还是有无限个，所以造就了目前最大的困难没办法直接将这个式子去套union bound。所以第一步需要做的就是想办法讲E_out(h)替换掉。How，如何用有限多个来表示E_out(h)？这个之前有讲到过，如果用1个hypothesis那就用verification，也就是抽样来估计E_out(h)。假设我有另外的N个点，也许E_in‘(h)就能用来取代E_out(h)。想象如果有个坏事情发生，也就是E_in(h)和E_out(h)相差很远；我再抽样一次E_in‘(h)，有很大的机会（坏事情发生是小概率事件，那么这个很大的机会就是1-小概率，也就是>1/2）E_in(h)和E_in‘(h)也相差的很远。所以，便可以有了如上的不等式替换。

第二步，想办法将Hyspothesis set换成某一个h。如下图所示，现在在乎的所有和BAD有关的只是E_in(h)和E_in‘(h)来决定了。也就是说，如果h在D与D‘上做出一样的dichotomy的话，那么E_in(h)和E_in‘(h)就会长一样。所以我只要把所有的hypothesis set分成|H(x1, x2..., x‘1, x‘2...)|这么多类就好，也就是在这2N个点上有多少种Dichotomies就好了。这样的话最多最多有m_H(2N)种，把每一种抓一个代表出来我们就可以使用union bound了。

第三步，求解两次Sampling的差别。

现在我们已经是固定的h，想知道两次sampling的差别。就好像我们先有2N个样本的例子，我们抓N个出来然后比较剩下的N个；或者说我们抓N个出来，比较它跟所有2N个的平均是多少。如果想要E_in(h)和E_in‘(h)相差alpha的话，那么E_in(h)与所有人的平均需要相差alpha/2。那怎么知道E_in(h)与所有2N的差别呢？没错，就是使用Hoeffding不等式来解决，只不错这次罐子变得更小变得有限的2N个了。

所以，最后的结果就变成了如下图所示。总结来说，我们便使用了非常挥挥手的方式证明了一个定理，这个定理就是VC bound。

所以，我们现在解决了2D的perceptron，它的break point是4，所以成长函数是O(N^3)，代进去则表示坏事情发生的几率会很小。也就是说样本N足够多的时候，2D 的PLA算法真的能够达到机器学习的效果。当然我们现在还没有证明任意维度的perceptron到底会发生什么事情。

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