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练习1.29
这道题的数学气息比较浓厚。像变量h和函数y在书中已经有了定义，并且n是偶数。另外通过观察我们发现当k等于0或者n时，y的系数为1；当k为偶数时，y的系数为2；当k为奇数时（在函数中直接用else也可以），y的系数为4。根据书中前面的讲解，需要有一个term作用在a上，还要有一个next来产生下一个a值。下面我们依次来完成这5个部分。
(define h (/ (- b a) n))
我曾将这一部分拿来编译过，但报错说n未定义。由此可见采用应用序取值的Lisp在采用应用序的同时还是从后往前求值的。不信的话，可以将n拿来define定义一下，会继续报错说a未定义而不是所b。好了我们再继续写后面的内容：
(define (y k) (f (+ a (* k h))))
(define (factor k)
(cond ((or (= k 0) (= k n)) 1)
((even? k) 2)
(else 4)))
(define (term k) (* (factor k) (y k)))
(define (next k) (+ k 1))
前文已经说了n是偶数，因此在调用simpson-ruler函数前应该先判断n的正负性：当n为奇数时报错，n为偶数时则计算并返回积分值。
(define (simpson-ruler f a b n)
(define h (/ (- b a) n))
(define (y k) (f (+ a (* k h))))
(define (factor k)
(cond ((or (= k 0) (= k n)) 1)
((even? k) 2)
(else 4)))
(define (term k) (* (factor k) (y k)))
(define (next k) (+ k 1))
(if (odd? n)
(error “Error: You just input an odd number.”)
(* (/ h 3) (sum term (exact->inexact 0) next n))))
exact->inexact在【Scheme归纳】2中有介绍，其用来把分数转换为浮点数。
函数sum和函数cube我们可以直接copy书中的代码。下面我们按照题目中的要求将n=100和n=1000来测试所写的函数是否正确。
(simpson-ruler cube 0 1 100)
;Value: .24999999999999992
(simpson-ruler cube 0 1 1000)
;Value: .2500000000000003
通过和书中的integral对比，辛普森规则很明显要精确得多。
练习1.30
这道题要求将一个递归的规程改成是迭代的，通过对递归版本的sum的观察得出以下变换形式：
a—(next a)
other—(+ (term a) other)
博主英文不太好实在想不出什么好词语了。变换成迭代通俗点讲就是要将sum中最后一行的加号去掉，因为这个是消耗大量空间的根源。
如果我们将a和other作为迭代中的产生，将这个过程展开即有：
(sum-iter a other)
(sum-iter (next a) (+ (term a) other))
(sum-iter (next (next a)) (+ (term (term a)) (+ (term a) other)))
博主就不再一直写下去了，就是按照前面的变换规则做对应变换罢了。
于是我们便可以完成题中的空缺部分了。
(define (sum term a next b)
(define (sum-iter a other)
(if (> a b)
other
(sum-iter (next a) (+ (term a) other))))
(sum-iter a 0))
练习1.31
题目中已经说的很清楚了，product用来返回在给定范围中各点的某个函数值的乘积。我们惊奇的发现这和前面的sum有着很大的相似，无非是将加法换成了乘法：
(define (product term a next b)
(if (> a b)
1
(* (term a)
(product term (next a) next b))))
既然在上一道习题中已经得出了sum的迭代版本，在这里同样也可以将它写成迭代的。
(define (product term a next b)
(define (product-iter a other)
(if (> a b)
other
(product-iter (next a)
(* (term a) other))))
(product-iter a 1))
不怕被笑话，我还去查了factorial的中文意思。有了product来写factorial不要太容易呀，只不过要借助以下很久之前用到过的lambda。不过完全也可以用额外定义的函数实现同样的功能，只不过在函数内用lambda会使代码更加简洁。
(define (factorial n)
(product (lambda (x) x) 1 (lambda (x) (+ x 1)) n))
下面我们来测试一下这个函数。
晕倒。。。博主轻飘飘的来了一个(factorial 50)结果返回了半个屏幕宽的数字。
话说我写到这里的时候才把a题做完，b题都没有看，没想到居然不知不觉中把b也碰巧做了。不过再看看原来a还没有写完，还要求pi的近似值。
那么这部分的策略是将分子和分母分开来看。先来看分子，我们可以准备一个函数，有一个参数n，如果n是1则返回2，n是奇数则加上1，n是偶数则加2。分母也可以用这种函数来产生。然后我们将左式中的4乘到右式，并且通过前面学的exact->inexact将分数转换成浮点数。最后我们就求出了pi。下面是完整的代码。
(define (get-pi n)
(define (get-numerator a)
(cond ((= a 1) 2)
((odd? a) (+ a 1))
(else (+ a 2))))
(define (get-denominator b)
(cond ((odd? b) (+ b 2))
(else (+ b 1))))
(define (add1 c)
(+ c 1))
(* 4 (exact->inexact (/ (product get-numerator 1 add1 n)
(product get-denominator 1 add1 n)))))
如是，我们再来检测检测。
(get-pi 300)
;Value: 3.1467982645089903
参数n越大，计算得到的pi越精确。
练习1.32
因为递归比迭代要更容易实现，因此我先考虑的递归。先将sum和product都列出来。
(define (sum term a next b)
(if (> a b)
0
(+ (term a)
(sum term (next a) next b))))
(define (product term a next b)
(if (> a b)
1
(* (term a)
(product term (next a) next b))))
通过对比我们发现，仅仅是有2个地方的区别。按照题中的要去，我们将0或1的位置用null-value代替，将+或*用combiner代替。在函数的参数中添加这两个新的参数即可。通过对比，其实也不难嘛。
(define (accumulate combiner null-value term a next b)
(if (> a b)
null-value
(combiner (term a) (accumulate combiner null-value term (next a) next b))))
题中还要求我们定义出sum和product来，这里我就列出sum的递归accumulate版本。
(define (sum term a next b)
(accumulate + 0 term a next b))
接下来我们再看看如何写出迭代版本的accumulate。还是一样，先列出迭代版本的sum和product。
(define (sum term a next b)
(define (sum-iter a other)
(if (> a b)
other
(sum-iter (next a)
(+ (term a) other))))
(sum-iter a 0))
(define (product term a next b)
(define (product-iter a other)
(if (> a b)
other
(product-iter (next a)
(* (term a) other))))
(product-iter a 1))
同样是通过类比，我们又可以写出迭代版本的accumulate。
(define (accumulate combiner null-value term a next b)
(define (accumulate-iter a other)
(if (> a b)
other
(accumulate-iter (next a)
(combiner (term a) other))))
(accumulate-iter a null-value))
这次我们就来写迭代版本的product。
(define (product term a next b)
(accumulate * 1 term a next b))
通过这些对比，感觉枯燥的递归和迭代还挺有意思的。
练习1.33
题目第二行描述，只组合起由给定范围得到的项里的那些满足特定条件的项，因此我们需要在这一版本的accumulate中添加一个need-filter?，这个新的谓词可以用来传递下面就要用到的prime?。
(define (filtered-accumulate need-filter? combiner null-value term a next b)
(if (> a b)
null-value
(let ((other-term (filtered-accumulate need-filter?
combiner
null-value
term
(next a)
b)))
(if (need-filter? a)
other-term
(combiner (term a) other-term)))))
因此我们就可以通过accumulate来构造一个求a到b之间所有素数的和了。就像上一道题中将accumulate补充称product等一样，这里也是将抽象的filtered-accumulate添加一些固定的元素让它稍微”具体“点。a小题的函数也就出来了。
(define (accumulate-prime-sum a b)
(filtered-accumulate prime? + 0 (lambda (x) x) a (lambda (x) (+ x 1)) b))
编译这段函数的前提是你已经将prime?加载上来了。
其实解答b小题就是要写出一个能够判断互素的谓词，这里定为a-prime-to-b?。
(define (a-prime-to-b? a b)
(and (< a b) (= 1 (gcd a b))))
同样的，在这里也应该要将gcd函数加载上来。
类似于前面将need-to-filter?替换成prime?的过程，这里是用的谓词a-prime-to-b?。
(define (product-of –prime-accumulate n)
(filtered-accumulate (lambda (x) (a-prime-to-b? x n))
*
1
(lambda (x) x)
1
(lambda (x) (+ x 1))
n))
作为初学者，还是多做点实践好了，再来写出迭代版本的filtered-accumulate
我就不再将我对比的过程写下来了，大家可以翻到前面看看。
(define (filtered-accumulate need-to-filter? combiner null-value term a next b)
(define (filtered-accumulate-iter a other)
(cond ((> a b) other)
((need-to-filter? a)
(filtered-accumulate-iter (next a) (combiner (term a) other)))
(else
(filtered-accumulate-iter (next a) other))))
(filtered-accumulate a null-value))
这道题我们就这样写完了，接下来我们会开始着重学习lambda了。虽然前面用过不少，但要想灵活运用lambda则比较难了。个人理解，lambda就像是C语言中的指针，灵活运用则威力强大。
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原文地址：http://www.cnblogs.com/NoMasp/p/4278462.html
