欧拉函数

欧拉函数的定义:E(k)=([1,n-1]中与n互质的整数个数).
   
     由于随意正整数都能够唯一表示成例如以下形式:
                     k=p1^a1*p2^a2*……*pi^ai;(即分解质因数形式)
    能够推出:E(k)=(p1-1)(p2-1)……(pi-1)*(p1^(a1-1))(p2^(a2-1))……(pi^(ai-1))
               =k*(p1-1)(p2-1)……(pi-1)/(p1*p2*……pi);
               =k*(1-1/p1)*(1-1/p2)....(1-1/pk)
     ps：在程序中利用欧拉函数例如以下性质，能够高速求出欧拉函数的值(a为N的质因素)
若(N%a==0 && (N/a)%a==0) 则有:E(N)=E(N/a)*a;

若(N%a==0 && (N/a)%a!=0) 则有:E(N)=E(N/a)*(a-1);

http://hi.baidu.com/ldante/blog/item/996b0ea131a7a58f46106443.html

第一次写欧拉函数的题，琢磨的半天，最后还是仅仅能依照最開始的想法写......
欧拉函数PHI(n)表示的是比n小，而且与n互质的正整数的个数(包含1)。比方：
PHI(1) = 1; PHI(2) = 1; PHI(3) = 2; PHI(4) = 2; ... PHI(9) = 6; ...

要计算一个正整数n的欧拉函数的方法例如以下：
1. 将n表示成素数的乘积: n = p1 ^ k1 * p2 ^ k2 * ... * pn ^ kn（这里p1, p2, ..., pn是素数）
2. PHI(n) = (p1 ^ k1 - p1 ^ (k1 - 1)) * (p2 ^ k2 - p2 ^ (k2 - 1)) * ... *(pn ^ kn - pn ^ (kn - 1))
              = Mult { pi ^ ki - pi ^ (ki -1) }

证明步骤例如以下：
1. easy想到：当n为素数时，PHI(n) = n - 1。由于每一个比n小的正整数都和n互素。当n为素数p的k次方时，PHI(n) = p ^ k - p ^ (k - 1)。由于在1到n之间的正整数仅仅有p的倍数和n不互素，这种数有(p ^ k / p)个。
2. 假设m和n互素，即GCD(m, n) = 1，那么PHI(m * n) = PHI(m) * PHI(n)。用中国剩余定理能够证明，证明的思路是建立这样一种一一相应的关系(a, b) <-> x，当中正整数a小于m而且gcd(a, m) = 1，正整数b小于n而且gcd(b, n) = 1，正整数x小于m*n而且gcd(m*n, x) = 1。证明步骤例如以下：
    1)依据中国剩余定理，假设m和n互素，那么关于未知量x的方程组x % m = a, x % n = b(0 <= a < m, 0 <= b < n)，当0 <= x < m * n时存在而且仅存在一个解。easy证明，假设两个这种方程组有同样的m, n可是a, b不同，那么他们的解x一定不同。
    2)首先用反正法证明：gcd(m, a) = 1且gcd(n, b) = 1是gcd(m*n, x) = 1的必要条件：如果gcd(a, m) = k > 1，由此可得：a = a‘ * k; m = m‘ * k => x = k‘ * m + a = k‘ * k * m‘ + k * a‘ = k * (k‘ * m‘ + a‘); 所以gcd(x, m) = k > 1。同理可证，如果gcd(b, n) > 1， 那么gcd(x, n) > 1。所以x和m * n互素的必要条件是a和m互诉且b和n互素。
    3)接下来我们证明充分性：由x % m = a 能够得到x = k * m + a；由欧几里德算法求最大公约数的过程（就不证明了，呵呵，还得想）能够知道gcd(x, m) = gcd(m, a) = 1；同理可得，假设gcd(n, b) = 1那么gcd(x, n) = 1。接下来非常easy得到：gcd(m*n, x) = 1。从而证明了充分性。
    4)上面三步的结论表明，数对(a, b)是能够和x建立起一一相应的关系的，所以有多少个不同的(a, b)，就有多少个不同的x。
3.将n分解成素数乘积后，显然对于随意的i, j(i != j)都满足 pi ^ ki和pj ^ kj是互素的，于是能够的到上面的公式。

跟据上面的公式，能够得到关于欧拉函数的递推关系：
如果素数p能整除n，那么
假设p还能整除n / p, PHI(n) = PHI(n / p) * p;
假设p不能整除n / p, PHI(n) = PHI(n / p) * (p - 1);