能将0和1两个数字玩的如此传神！是个程序要都应该了解的海明码（通俗版）

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得到海明码步骤：

一、确定校验码的位数k

二、确定校验码的位置

三、数据的位置

四、求出校验位的值

其中还需要一个公式的推导，好了，下面开始：

首先，海明码的作用是：在编码中如果有错误，可以表达出第几位出了错，二进制的数据只有0和1，修改起来很容易，求反即可，这需要加入几个校验位。对于一个m位的数据信息，到底应该加入几个呢？假设需要k个，那么编码之后应该是m+k位，这k个二进制数组成的数据能够表达的数值是2的k次方个，比如需要3个校验位，k=3，3位二进制数从000 、 001 、…… 、111共有8个数值，而这m+k个二进制组成的数据的所有编码中，只有一个是正确的，其他的都是表达了错误的位置信息的，所以2的k次方个编码中去掉正确的那一个，也就是（2的k次方-1），如果这个数值等于m+k，就可以完全表达出出错的位置了，（2的k次方-1）也可以大于m+k，

比如：给10个学员进行编号，可以用一位数来编码：学号为0 、1 、2 、3 、……、9 ，也可以 用两位数或者五位数，00000 、00001 、00002 、……、00009，但是没有必要用五位呀，只要能满足编码的要求就可以了，所以说我们求出满足条件的最小的k值就可以！

下面举例说明：我们要推导出D= 101101这个数字的海明码

一、确定校验码的位数k

数据的位数m=6，按照上面我们说的公式来计算满足条件的k的最小值

2的k次方-1>=m+k

即：2的k次方-1>=6+k

解此不等式得：满足不等式的最小k=4，也就是D=101101这个数字的海明码应该有6+4=10位，其中原数据6位，校验码4位。

二、确定校验码的位置

设这4为校验码分别为P1、P2、P3、P4

数据从左到右为D1、D2、……、D6

编码后的数据共有6+4=10位，设为M1、M2、……M10

校验码Pi（这里i=1,2,3,4）在编码中的位置为2的（i-1）次方，值是这样的1,2,4,8,16……即：P1在M1位置，P2在M2位置，P3在M4位置，P4在M8位置，这里一共有10位,所以排不到M16，见图中“甲”行红色字体

                                          图1

三、数据的位置

这个很简单，除了校验码的位置其余的就是数据的位置，填充进去就可以了，见图中“甲”行的蓝色字体，于是可以先把数据信息填进去，见“丙”行，下面就是最关键的部分，求出校验位的值啦！！！

四、求出校验位的值

这里会用到一个公式，找了好多资料都说了这个公式，但是完全没有必要死记硬背，是有规律的，回顾一下二进制的表达，对于一个4位二进制数，可以表达16个值，0000B~1111B，“B”代表二进制，“D”代表十进制，假定这4位二进制数，从左到右分别为S4、S3、S2、S1，请把脑袋向左歪90°看下图：1D=0001B，所以M1在S1那一行，4D=0100B，所以M4在S3那一行，5D=0101B，这就不能用一个格子来表达了，所以需要S3和S1共同表达，即4+1=5，看图中黄色的部分，是不是M5？看出规律了吧？M后边的数字都可以拆为由2的n次方的数相加来表达，在举一个例子M7：4+2+1=7即：7D=0111B，看图中橙色的部分，都是M7吧!by the way：这个公式在验证纠错的时候还会用得到，我找的网上的很多资料写了好几个公式，看后完全“懵懂”了，其实只需要这一个就可以了，按照我说的这个方法，你只要记住这个公式的推导就可以解决所有问题了，怎么样？强大吧？

                                   图2

接下来就是代入求值的过程了，不要说你不懂“⊕”这个符号哦！这是异或，真不懂的话，就去搜吧！按照图1中的指示，把相应的值代入到图2 的公式里，可以得到如下内容

S1=M1⊕M3⊕M5⊕M7⊕M9      =P1⊕D1⊕D2⊕D4⊕D5

S2=M2⊕M3⊕M6⊕M7⊕M10    =P2⊕D1⊕D3⊕D4⊕D6

S3=M4⊕M5⊕M6⊕M7              =P3⊕D2⊕D3⊕D4

S4=M8⊕M9⊕M10                    =P4⊕D5⊕D6                    

如果海明码没有错误信息，S1、S2、S3、S4都为0，等式右边的值也得为0，由于是异或，所以Pi（i=1,2,3…）的值跟后边的式子必须一样才能使整个式子的值为零，即：Pi=后边的式子的值,即：

P1  =   D1  ⊕  D2  ⊕  D4  ⊕  D5

P2  =   D1  ⊕  D3  ⊕  D4  ⊕  D6

P3  =   D2  ⊕  D3  ⊕  D4    

P4  =   D5  ⊕  D6           

懂了吗？是不是说的有点跨度？仔细想一下异或的含义，以S4= P4⊕D5⊕D6为例,S4=0,就是说P4⊕D5⊕D6=0，那么P4和（D5⊕D6）必须一样（即P4= D5⊕D6），那么异或的结果才能为零吧？！！不要以算术加减法来理解，要用逻辑数学的思维啦！！

那么可以算出Pi的值了吧？

P1   =     D1   ⊕    D2   ⊕    D4   ⊕    D5   =     1     ⊕    0     ⊕    1     ⊕    0     =     0

P2   =     D1   ⊕    D3   ⊕    D4   ⊕    D6   =     1     ⊕    1     ⊕    1     ⊕    1     =     0

P3   =     D2   ⊕    D3   ⊕    D4                 =     0     ⊕    1     ⊕    1                   =     0

P4   =     D5   ⊕    D6                               =     0     ⊕    1                                 =     1

恭喜你，大功告成，把Pi的值填写到图1中，看“丙”行，就可以得到haimming编码啦！哈哈！

五、海明码校验过程

现在我们得到了D=101101的正确海明码就是

那么出错的时候是怎么验证出来的呢？比如第5位错了，第5位现在的值是0，如果错了，它只能是1，二进制就这两种值即：我们得到了这样的一组编码，现在要找出错误的位置（假定你不知道哪里错了啊！！！）

                            图4

现在又要用到我刚才说的那个强大的公式了，请看图2，算了，为了你不至于来回拨弄鼠标滚轮，我还是把图2 粘贴过来吧

把图4中的值，带入到图2 的公式里

S1=0⊕1⊕1⊕1⊕0       =1

S2=0⊕1⊕1⊕1⊕1       =0

S3=0⊕1⊕1⊕1            =1

S4=1⊕0⊕1                 =0

按照S4S3S2S1排列得到的二进制数为：0101，对应的值十进制为5。

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能将0和1两个数字玩的如此传神！是个程序要都应该了解的海明码（通俗版）

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原文地址：http://www.cnblogs.com/Gbeniot/p/3760570.html