Codeforces Rockethon 2015 C

Problem

N个公司在拍卖标价一件商品，每个公司会在各自的$[L_i,R_i]$区间内等概率选取整数出价。出最高价的公司会赢得商品，若有多个公司出最高价，随机一个公司赢得商品。但是，有一条特殊规矩，赢得商品的公司所需付的钱不是它所标价的钱，而是除去它以外的其它公司所标价的钱的最大值。现求，赢得的公司所需付钱的期望。

Limits

$Time Limit(ms): 2000$

$Memory Limit(MB): 256$

$N\in[2,5]$

$L_i,R_i\in[1,10000]$

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Solution

从$[1,10^4]$枚举第二高价，$EXP=\sum_{i=1}^{10^4}P_i\times i$，用此公式求得期望。

$P_i=\frac{Each_i}{Total}，Each_i表示每一个第二高价的情况数$

$Total=\prod_{i=1}^{N}(R_i-L_i+1)，Total表示总情况数$

$期望还可表示为：EXP=\frac{\sum_{i=1}^{10^4}Each_i}{Total}=\frac{Each_1+Each_2+\ldots+Each_{10^4}}{Total}$

不难发现，若当前第二高价为$i$，则必然有一个公司的标价为$i$，必然还有一个公司的标价$>=i$，而其余公司标价$<=i$。

用上述思想去求$Each_i$，难点在于要精确地保证不重复计算 。我的方法是两步：1. 枚举每一个标价$>i$的公司，再状压枚举其余公司的标价为$i$或者$<i$，需保证标价为$i$的公司至少有一个；2. 枚举所有公司标价为$i$或者$<i$，需保证标价为$i$的公司至少有两个。

此外，用概率dp也可以做。

Complexity

$Time Complexity: O(10^4\times N^2\times 2^N)$

$Memory Complexity: O(N)$

My Code

//Hello. I‘m Peter.
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<sstream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<cctype>
#include<ctime>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned long long ull;
#define peter cout<<"i am peter"<<endl
#define input freopen("data.txt","r",stdin)
#define randin srand((unsigned int)time(NULL))
#define INT (0x3f3f3f3f)*2
#define LL (0x3f3f3f3f3f3f3f3f)*2
#define gsize(a) (int)a.size()
#define len(a) (int)strlen(a)
#define slen(s) (int)s.length()
#define pb(a) push_back(a)
#define clr(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define clr_minus1(a) memset(a,-1,sizeof(a))
#define clr_INT(a) memset(a,INT,sizeof(a))
#define clr_true(a) memset(a,true,sizeof(a))
#define clr_false(a) memset(a,false,sizeof(a))
#define clr_queue(q) while(!q.empty()) q.pop()
#define clr_stack(s) while(!s.empty()) s.pop()
#define rep(i, a, b) for (int i = a; i < b; i++)
#define dep(i, a, b) for (int i = a; i > b; i--)
#define repin(i, a, b) for (int i = a; i <= b; i++)
#define depin(i, a, b) for (int i = a; i >= b; i--)
#define pi 3.1415926535898
#define eps 1e-6
#define MOD 1000000007
#define MAXN
#define N
#define M
int n,mini,maxi;
struct Person{
    int l,r;
}per[10];
double totalsum,sumt;
int main(){
    cin>>n;
    totalsum=1.0;
    mini=INT,maxi=-INT;
    rep(i,0,n){
        scanf("%d %d",&per[i].l,&per[i].r);
        double t=per[i].r-per[i].l+1;
        totalsum*=t;
        mini=min(mini,per[i].l),mini=min(mini,per[i].r);
        maxi=max(maxi,per[i].l),maxi=max(maxi,per[i].r);
    }
    sumt=0;
    repin(now,mini,maxi){
        double sum1=0.0;
        rep(i1,0,n){
            if(per[i1].r<=now) continue;
            rep(i,1,1<<n){
                if(i&(1<<i1)) continue;
                double sum2=per[i1].r-max(now+1,per[i1].l)+1;
                bool ok=true;
                rep(j,0,n){
                    if(j==i1) continue;
                    if((i&(1<<j))==0){
                        if(now<=per[j].l){
                            ok=false;
                            break;
                        }
                        else{
                            double t=min(per[j].r,now-1)-per[j].l+1;
                            sum2*=t;
                        }
                    }
                    else{
                        if(per[j].r<now || now<per[j].l){
                            ok=false;
                            break;
                        }
                    }
                }
                if(!ok) continue;
                sum1+=sum2;
            }
        }
        rep(i,1,1<<n){
            int num=0;
            bool ok=true;
            double sum2=1.0;
            rep(j,0,n){
                if((i&(1<<j))==0){
                    if(now<=per[j].l){
                        ok=false;
                        break;
                    }
                    else{
                        double t=min(per[j].r,now-1)-per[j].l+1;
                        sum2*=t;
                    }
                }
                else{
                    num+=1;
                    if(per[j].r<now || now<per[j].l){
                        ok=false;
                        break;
                    }
                }
            }
            if(num<2 || !ok) continue;
            sum1+=sum2;
        }
        sumt+=now*sum1;
    }
    double ans=sumt/totalsum;
    printf("%.10f\n",ans);
}