编程题-最小向量内积-（1）

有两个向量$v_1=(x_1,x_2,...,x_n)$和$v_2=(y_1,y_2,...,y_n)$,允许任意交换$v_1$和$v_2$各自的分量的顺序，计算$v_1$和$v_2$的内积$x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n$的最小值
样例：
输入：
n=3
$v_1=(1,3,-5)$
$v_2=(-2,4,1)$
输出:
-25
( 令$v_1=(-5,1,3)$，$v_2=(4,1,-2)$ )

首先我第一感觉就是，要保证最小，
1.如果在有正有负的情况下，那么有最大的正数乘以最小的负数，
2.如果都是正数，用最大的正数乘以最小的正数，
3.如果都是负数，用最大的负数数乘以最小的负数，
其实以上的3个条件就是两个向量分别按照升序和降序排列，得到的内积最小
按照上面的方法，不断的从$v_1$和$v_2$取出配对的量，最后得出的结果可能是最优的结果。

举个样例试一试
$v_1=(x_1,x_2)$ ,$v_2=(y_1,y_2)$
如果$v_1$已经是按照升序排列，即$x_1 \le x_2$,比较 $x_1 \times y_1+x_2 \times y_2$ 和$x_1 \times y_2 +x_2 \times y_1$的大小
$(x_1 \times y_1+x_2 \times y_2)-(x_1 \times y_2 +x_2 \times y_1)$
$=(x_1(y_1-y_2)+x_2(y_2-y_1))$
$=(x_1-x_2)(y_1-y_2)$
可以看出，如果$y_1 \lt y_2$,即$x_1 \times y_1+x_2 \times y_2 \gt x_1 \times y_2 +x_2 \times y_1$
意味着，我们可以通过交换$y_1和y_2$的位置得到一个更小的向量内积值
延伸到 $n>2$
我们也同样把$V_1$按照升序排列，对于$v_2$如果存在 $i \lt j,并且y_i \lt y_j$我们可以通过交换$y_i和y_j$的位置，得到一个更小的例子
$x_1y_1+...+x_iy_i+...+x_jy_j+...+x_ny_n \gt x_1y_1+...+x_iy_j+...+x_jy_i+...+x_ny_n$

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;
int compare(int a,int b)
{
    return a>b;
}
int main()
{
    int n,i;
    cout<<"input n: ";
    cin>>n;
    cout<<endl;
    cout<<"input v1 :"<<endl;
    int *v1=new int[n];
    int *v2=new int[n];
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        cin>>v1[i];
    }
    cout<<"input v2 :"<<endl;
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        cin>>v2[i];
    }
    //v1 升序
    sort(v1,v1+n);
    //v2 降序
    sort(v2,v2+n,compare);
    int min=0;
    for(i=0;i<n;i++){
        min+=v1[i]*v2[i];
    }
    cout<<"minimum is :"<<min<<endl;
    delete [] v1;
    delete [] v2;
    return 0;
}

input n: 3

input v1 :
1 3 -5
input v1 :
-2 4 1
minimum is :-25