[codevs 2926] 黑白瓷砖(2002年安徽省队选拔赛)

描述

http://codevs.cn/problem/2926/

题解：

Polya定理的应用。
由于第一次做polya定理的题，故要写的详细些。
首先可以从题目中读到三个置换以及一个不动置换：

1. 顺时针旋转120度。
2. 顺时针旋转240度。
3. 左右翻转180度。
4. 旋转0度。（不动置换）

开始我本以为这样就算完成任务，就拿polya定理演算了一遍，结果发现n=2，n=3都不对。后来才明白现在的置换群中不满足封闭性。比如先顺时针旋转再左右翻转后的图形就不包含在内。所以还要增加两个斜向的翻转。

现在可以统计每个置换中循环的个数了：

1. 旋转操作，可以画图数学归纳一下，每个循环中都有3个元素，（因为120度是360度的三分之一），那么一共就有（（点数+2）/ 3）个循环。设为x。
2. 翻转操作，经归纳，中轴线上有（n+1）/ 2 个点，每个点单独构成一个循环，其余两两配对，所以这些单点少算了一次，总循环数即 （总点数+中轴线上的点数）/ 2。设为y。
3. 不动置换，即总点数。设为z。

接下来根据polya定理求最终结果。因为旋转有两个置换，翻转有三个（左右、斜向两个），还有一个不动置换，所以最后结果是

$$ans = \dfrac{2*2^{x} + 3*2^{y} + 2^{z}}{6}$$

代码：

其实需要高精，但我没打。

#include<cstdio>
using namespace std;

int main() 
{
    int n;
    scanf("%d", &n); //底层点数 
    int s = n * (n + 1) / 2; //总点数 
    int m = (s + (n + 1) / 2) / 2; //一个翻转置换的循环数 
    printf("%d\n", (2*(1<<((s+2)/3)) + 3*(1<<m) + (1<<s)) / 6);
    return 0;
}