趣题——打开的锁

题目：

在一个走廊里，按顺序排列着编号为1到100的100把锁，他们都是锁上的，要求在第一次从走廊一头走到另一头的时候，打开所有锁；第二次时，将编号为2的倍数的锁改变状态（从开到关，或从关到开）；第三次时，将编号为3的倍数的锁改变状态；以此类推，问当第100次经过走廊的时候，哪些锁是开着的。

方法：

这题不会傻到让你把所有锁都画出来，即便这样，也不能够画完100次的状态。
我们首先模拟第一遍经过走廊，每把锁都要改变状态；
第二遍，编号为2,4,6,8，…，100的锁改变状态。
…

如果我要问第6把锁的最终状态，那么经过的步骤为：
1. 1,2,3,4,5,6...
2. 2,4,6...
3. 3,6...
4. 6...
对于编号为6的锁，有且只有以上这四次变换。

而我们知道偶数次变换是不会改变状态的，奇数次变换会使得结果跟初始状态刚好相反。
对于6而言，能够影响到它的状态的几次分别为：1的倍数，2的倍数，3的倍数和6的倍数。不难发现，这些都是数字6的因数，也就是说，要问一把锁的状态，只需要看它相应的编号有多少个因数即可。如果因数的个数为偶数个，则状态不变；否则，状态相反；但是，往往一个数的因数都是对称的，什么情况下，它的因数的个数是奇数个呢？
想想这些数：1,4,9,16，25…
他们的因数均为奇数个，因为他们是平方数。因此在100内（含）有多少个平方数，就有多少个最终被改变了状态的锁。而如何计算100内有多少个完全平方数呢？很简单：从1开始一个一个看，直到10的平方达到了100，因此最多有10个完全平方数。

发散一下：有n个编号从1到n的锁，按照规则经过了n次走廊，则最终有多少个锁变换了状态，还是从1开始，直到m，使得m^2<=n && (m+1)^2>n ,那么通式可以表示为floor（squrt（n）），floor表示求底，即不超过某数的最大整数。