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动态规划之求组合数

时间:2014-06-05 07:43:43      阅读:277      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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时间:2014.05.29

地点:基地

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一、关于动态规划

  如果问题是由交叠的子问题构成,则可用动态规划的方式求解。我们在将一个大问题划分为子问题的的过程中,如果递推关系中包含的子问题和大问题具有相同的形式,但由于子问题的交叠性质,我们用递归解决的代价往往很大,这时可考虑动态规划,即对每个交叠的子问题只求解一次,并把结果存储在记录表中,最后得出原始问题的解。直观上,好像动态规划是采取空间换时间的权衡技术,但经过改进,可以避免使用额外的空间,一个典型的应用就是求斐波那契数列的第n项和组合数。这两个应用都属于经典的从底到上动态规划的应用,即需要解出给定问题的所有较小子问题。

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二、求组合数

  C(n,k)=C(n-1,k)+C(n-1,k-1)                              ————————F(n)=F(n-1)+F(n-2)也类似

像这样,对于给定问题可分解为子问题,而子问题又存在交叠,适合于动态规划,更具体的这种形式适合采取自底向上的动态规划策略。比如这里:

我们先从C(0,0)算起,然后C(1,0),C(1,1),C(2,0),C(2,1),C(2,2)......C(n,k)

这样还可以为之建立一张表,我们对数据进行动态更新,即没一次迭代,我们都去更具公式计算出合适的值。

计算组合的公式在程序上可实现为:正上方值+左上方值

为了节省存储空间,对于计算C(n,k)实际上我们只需要一个k+1维的数组即可,通过对该数组的n+1次维护即可得出目标值,当然注意到0号元素总是1可以对问题略加简化:

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三、动态求解组合数的伪代码

  

Binomial(n,k)
  for i=[1..n]
      left_top=1         //计算每一行最开始时,left_top初始化为1,因为C(n,0)总是为1,所以每行计算第二个值时,它左上方元素值总是为1
       for j=[1...k]     //从1号元素算起,0号元素总是为1
          if   j=k  
               C[j]=1    //计算对角线,即C(j,j)
               break     //结束当前行(轮)计算
           else
               temp=C[j]             //必须保存旧值,因为当前值将被更新,然而我们计算下一个值时,该位置的旧值是下一个元素的左上方值
               C[J]+=left_top        //更新当前值=正上方值(旧值)+左上方值
               left_top=temp         //更新左上方值用于下次计算
  return C[k]
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四、源码实现

int Binomial(size_t n, size_t k)
{
	//Precontion:
	//Postcontion:
	//Facilities used:
	assert(k>=0&&k <= n);
	int* arr_ptr = new int[k+1];
	arr_ptr[0] = 1;
	int temp, left_top;
	for (size_t i = 1; i < n+1; ++i)
	{
		left_top = 1;
		for (size_t j = 1; j < k+1; ++j)
		{
			if (j == i)
			{
				arr_ptr[j] = 1;
				break;
			}
			else
			{
				temp = arr_ptr[j];
				arr_ptr[j] += left_top;
				left_top = temp;
			}
		}
	}
	temp=arr_ptr[k];
	delete[] arr_ptr;
	return temp;
}


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动态规划之求组合数

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原文地址:http://blog.csdn.net/u012333003/article/details/27496697

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