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各种幻方一览

时间:2015-02-12 22:57:01      阅读:986      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:数学   幻方   

在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中,图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等,具有这种性质的图表,称为“幻方”。我国古代称为“河图”、“洛书”,或者“纵横图”。    

一、三阶幻方(三三图,九宫格)

即:纵横斜各条线上之和都等于15。

口诀:戴九履一,左三右七,二四有肩,六八为足,五居中央。

2 9 4
7 5 3
6 1 8

注:其他一次变幻即可(如整体左旋、右旋等)。


二、四阶幻方(四四图)

即:用16以内的数补全四阶幻方,使每行、列对角线的和相等,均为34。 

解法:将16个数字依次作四行排列,然而以外四角对换(即一换十六,四换十三),后以内四角对换(即六换十一,七换十)即可。


三、五阶幻方(五五图)

即:纵横斜各条线上之和都等于65。
罗伯法:最小的数据上行中央,依次向右上方斜填,上出框往下写,右出框往左填,排重便在下格填,右上排重一个样。

例如:在最上一行的中间填1,接着在1的右上方填2,由于1在最上一行, 所以1的右上方应该是第五行的第四个, 接下来在2的右上方填3,3的右上方是第三行第一个,所以在此填4,在4的右上方填5,在5的下方填6,接着按前面五个数的填法依次填7,8,9,10; 在10的下方填11,然后按上面的方法填。每次填五个数,直到完成。

17 24 1 8 15
23 5 7 14 16
4 6 13 20 22
10 12 19 21 3
11 18 25 2 9


四、奇数阶幻方

即:n为奇数 (n=3,5,7,9,11……) (n=2×k+1,k=1,2,3,4,5……) 。

罗伯特法(楼梯法),填写方法如下:

 (1)、把1(或最小的数)放在第一行正中; 然后按以下规律排列剩下的n×n-1个数;

 (2)、每一个数放在前一个数的右上一格;

 (3)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行,仍然要放在右一列;

(4)、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列,仍然要放在上一行;

(5)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列,那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内;

(6)、如果这个数所要放的格已经有数填入,处理方法同(4)。   

 口诀:  1居首行正中央, 依次右上莫相忘 上出格时往下放, 右出格时往左放.  排重便往自下放, 右上出格一个样 


五、单偶数阶幻方

即:n=2(2m+1)(m=1,2,3..........)。

分区调换法(本例为六阶幻方):

(1)把n=2(2m+1) 阶的幻方均分成4个同样的小幻方A、B、C、D,如下图:

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(注:A、B、C、D的相对位置不能改变,因为n=2(2m+1)为奇数,所以A、B、C、D均为奇数阶幻方)

(2)用罗伯特法在A中填入1——a^2构成幻方;同理,在B中填入1——2a^2;在C中填入(2a^2+1)——3a^2;在D中填入(3a^2+)——4a^2均构成幻方(a=n/2),如下图:

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(注:因为2m+1为奇数,所以A、B、C、D均为奇数阶幻方,必然可以用罗伯特法构造幻方)

(3)在A的中间一行上从左侧的第二列起取m个方格,在其它行上则从左侧第一列起取m个方格,把这些方格中的数与D中相应方格中的数字对调,如下图:

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注:不管是几阶幻方,在A中取数时都要从中间一行的左侧第二列开始;在本图中,因为当n=6时,m=1,所以本例只取了一个数)

(4)在A中从最右一列起在各行中取m-1个方格,把这些方格中的数与D中相应方格中的数字对调,如下图:

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六、双偶数阶幻方

即:n=4m(m=1,2,3,4.....)。

(1)首先把n阶幻方表示为4m阶幻方。将其等分为四分,成为如下图所示A、B、C、D四个2m阶偶数幻方。如下图:

A C

                                D B

(2)A用1——(2m)^2填写成2m阶幻方;B用(2m)^2+1——2*(2m)^2填写成2m阶幻方;C用2*(2m)^2+1——3*(2m)^2填写成2m阶幻方;D用3*(2m)^2+1——4*(2m)^2填写成2m阶幻方;

(3)A、B、C、D幻方依次按照之前的四阶幻方方法进行数字调换(即外对角线数字互换,内对角线数字互换)。
16 2 3 13 48 34 35 45
5 11 10 8 37 43 42 40
9 7 6 12 41 39 38 44
4 14 15 1 36 46 47 33
64 50 51 61 32 18 19 29
53 59 58 56 21 27 26 24
57 55 54 60 25 23 22 28
52 62 63 49 20 30 31 17


七、洛书数

构造口诀:“九子斜排,上下对易,左右相更,四维挺出”。

(1)九子斜排

1

4 2

7 5 3

8 9 6

(2)上下对易

9

4 2

7 5 3

8 6

1

(3)左右相更

9

4 2

3 5 7

8 6

1

(4)四维挺出

4   9   2

()  ()

3   5   7

() ()

8   1   6


各种幻方一览

标签:数学   幻方   

原文地址:http://blog.csdn.net/a809146548/article/details/43765427

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