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泛化理论（举一反三）。
突破点的限制。
回顾一下上一章中提到的成长函数
的定义：假设空间在N个样本点上能产生的最大二分（dichotomy）数量，其中二分是样本点在二元分类情况下的排列组合。
上一章还介绍了突破点（break point）的概念，即不能满足完全分类情形的样本点个数，完全二分类情形（shattered）是可分出
种二分类（dichotomy）的情形。
继续举例说明，假设一种分类情形最小的突破点为2，即
。
容易求出在
时，成长函数
；
在
时，成长函数
（突破点是2），因此最大的二分类个数不可能超过3，假设为3。
继续观察
时的情形，因理解稍微有些复杂，还是以图的形式表达，如图6-1所示。
如图6-1a)表示在三个样本点时随意选择一种二分的情况，这种分类没有任何问题，不会违反任意两个样本点出现四种不同的二分类情况（因为突破点是2）；
如图6-1b)表示在a)的基础上，添加不与之前重复的一种二分类，出现了两种不冲突的二分类，此时同样也没有任何问题，不会违反任意两个样本点出现四种不同的二分类情况；
如图6-1c) 表示在b)的基础上，再添加不与之前重复的一种二分类，出现了三种不冲突的二分类，此时同样也没有任何问题，不会违反任意两个样本点出现四种不同的二分类情况；
如图6-1d) 表示在c)的基础上，再添加不与之前重复的一种二分类，问题出现了，样本
出现了四种不同的二分情况，和已知条件中k=2矛盾（最多只能出现三种二分类），因此将其删去。
如图6-1e) 表示在c)的基础上，再添加不与之前重复的一种二分类，此时同样也没有任何问题，不会违反任意两个样本点出现四种不同的二分类情况；
如图6-1f) 表示在e)的基础上，再添加不与之前重复的一种二分类，问题又出现了，样本
出现了四种不同的二分情况，和已知条件中k=2的条件不符（最多只能出现三种二分类），因此将其删去。
a) b)
c) d)
e) f)
图6-1 样本数为3时的二分类情形
在突破点是2，样本点为3时，最多只能有四种二分类情况，而
。
从上述情形，可以做一个猜想，成长函数
小于等于某个与突破点k有关的二次项，如果可以证明这一结论，即能寻找到一个可以取代无限大M的数值，同理即能公式4-6在假设空间为无限大时也是成立，即机器是可以学习的。
假设突破点
，在样本数为3时，最大的二分类个数是多少？答案是1，可以想象，在样本为1时，只有一种分类情形，假设这种情形是正，则以后所有样本也为正，才能满足上述条件，所以样本N不论为多少，其最大二分类数都是1。
上限函数的基本情形。
根据上一小节的例子，提出一个新的概念，上限函数
（bounding function），其定义为在最小突破点为k时，表示成长函数
最大值的函数。此函数将成长函数从各种假设空间的关系中解放出来，不用再去关心具体的假设，只需了解此假设的突破点，突破点相同的假设视为一类，抽象化成长函数与假设的关系。
二分类的个数或者称之为成长函数
说白了就是二元（在图中表示为"×"或者"○ "的符号）符号在在长度为N的情况下的排列组合（每个不同的排列代表一个二分类，每种二分类可看做一个向量）个数。
在强调一遍，提出这种上限函数的好处在于，它的性质可以不用关心到底使用的是何种假设空间，只需要知道突破点便可以得到一个上限函数来对成长函数做约束。
例如：
可以同时表示一维空间的感知器（1D perceptrons）和间隔为正（positive intervals）的两种假设空间，因为两者都满足
。注意一维的成长函数为
，而间隔为正的成长函数为
，
一定比这两种情况中最大的还要大，才能约束成长函数，回忆上限函数的定义，是成长函数
最大值的函数表示，从这个例子中可以理解为何还会出现"最大值"。
想要证明
。
先观察已知的
如何表示，通过列表方式找出规律，如图6-2所示。
图6-2 已知的
取值
在
的这条斜线上，所有值都等于
，这一原因在上一节推导中已经提到过，原因是突破点代表不能完全二分类
的情况，因此在此情况下最大的二分类数可以是
。在这条斜线的右上角区域所有的点都满足完全二分类的，因此值为
。
而在斜线右下角上已给出数值的点都是在上一节中已求出答案的点，空白地方的值则是下节需要介绍的内容。
上限函数的归纳情形。
这一小节主要是将上一小节空白的内容填写上，从已有的数据上可以看出一个似乎是正确的结论：每个值等于它正上方与左上方的值相加。如公式6-1所示。
（公式6-1）
当然单从观察是无法证明该公式是成立的，以下从结论出发来验证它的正确性。
首先通过计算机求出
的所有二分情况（自己编写程序加上限制条件，在16个二分类中找出符合条件的），其结果如图6-3所示。
图6-3
的所有二分类
图6-3中的展示效果还是有些混乱，对这11种情况做一次重新排序，将
与
分开观察，如图6-4所示，橙色部分为
两两一致、
成对（pair）出现的二分类，设橙色部分一共
对二分类，即
种二分类；紫色部分为各不相同的
，设紫色部分一共
种，得公式6-2。
（公式6-2）
图6-4 以成对和单个的形式展示
注意
，意味着在样本点为3时，不能满足完全二分的情形。需要观察在样本数为3时，这11种分类会有何变化，不妨假设这三个样本是
，于是只剩如图6-5所示的7种二分类情形。
图6-5 三个样本时缩减之后的二分类
其中橙色部分，原本两两成对出现的二分类，在去掉
所属的那列样本之后，就合并成了4种二分类情况（
），紫色部分不变依然为3种二分情况（
）。因为已知
，在样本数为3时，图6-5中即表示样本书为3 的情况，其一定不能满足完全二分，因此
与 
一定满足公式6-3。
（公式6-3）
继续观察橙色部分的区域，如图6-6所示。
图6-6 三个样本时橙色区域的二分类
以下使用反证法证明。假设
三个样本在如上图所示的四种二分类情况下，满足任意两个样本都可完全二分类。将
中任意两列取出，同之前被删除的
列相结合，一定可得到一种三个样本都满足完全二分类的情形（因为不论是哪两列与
相结合都会得到8种二分类，每一行二分类都对应两个不同标记的
，因此为8种。且两列四行的二分类是全完二分的，在此基础上加上不同属性的列，应该也不会重复，因此一定也是全完二分的）。但是此结论和已知任意三个样本不能完全二分冲突了，因此假设不成立，即在图6-6中一定存在某两个样本点不能完全二分的情况，因此得出如公式6-4所示的结论。
（公式6-4）
由公式6-2~公式6-4推导出公式6-5。
（公式6-5）
最终还能推导出公式6-6的通用结论，也就是开始时公式6-1的猜想。
（公式6-6）
根据这一结论将图6-2补齐，如图6-7所示。
图6-7 补齐后的上限函数表
最后可以通过如下方式证明公式6-7是成立的。
（公式6-7）
首先需要预先了解组合中的一个定理，如公式6-8所示。
（公式6-8）
很容易证明
情况下公式6-7成立，如公式6-9所示。
（公式6-9）
上一节中已经给出了证明，不仅仅是满足不等号条件，而且满足等号。
再使用数学归纳法证明在
的情况，公式6-7成立。
假设公式6-10成立，则可以得到在
的情况下公式6-11成立，同时结合公式6-6的结论，公式6-12也能被推导出来。
（公式6-10）
（公式6-11）
（公式6-12）
这一结果意味着：成长函数
的上限函数
的上限为
。
一种形象化的证明。
在书写这一小节之前，还是想说明一下，我面对这一小节时，看得是一知半解，因为林老师本身也没打算将这个证明的详细流程全部给出，我觉得原因有几个：一是难度很高，即使全部讲解能听懂的估计也没几个；二是思想更重要，你只需要知道它用到了什么原理去证明这个问题，这比你了解这枯燥的数学推导更重要；三是结论比求解过程更重要。当然这不是说求解过程不重要，我会在看懂相关理论之后，整理出一个关于V-C限制完整证明的笔记，但估计现在也没时间去看懂这一理论。
言归正传，开始这一小节的简单阐述。
在讲述之前几章时，一直以为只需要证明出在假设函数为无限多的情况下，寻找成长函数
作为假设空间个数的上限，直接使用该上限去取代原本霍夫丁不等式中的M便可得出结论，即在
接近0时，
也接近0，也就是机器是可以学习的。实际与这一结果类似，但是稍有偏差，在那本以为的霍夫丁不等式（如公式6-13所示）的公式中多出一些常量。
（公式6-13）
先给出结论，公式如6 -14所示。
（公式6-14）
比较两个公式，发现最终的结论比猜想的，在不等式的右侧三个不同位置多了三个常数，分别是开头的地方多了一个2倍，成长函数中多了一个2倍，指数函数中多了一个
。按先后循序，分三步简单说明一下这些变化的原因。
第一步，用
取代
。
公式6-15的说明（不敢叫做证明，目前完全没有头绪，一到三步的说明都是自己的理解，不正确之处还望指正）。
（公式6-15）
其中
的可能性是有限多种，因为假设空间的种类被成长函数
约束住了，而样本的大小又是固定的，所以错误率也最多只有
种；但是
的可能性还是无限多，因为它的数据是无限大，错误率也自然也会无限多种。为了解决此问题，提出了一种叫做影子数据的概念（ghost data）。使用跟输入样本一样多的数据
，有
，用这组新的样本取代整个样本去近似求解在无限大的数据中
的值，求解的近似值记为
。图6-8表示
和
的分布情况，其中
为它俩的分布中心，假设数据D的情况下
很大，从图中不难看出，再抽取一次数据
得到的
很大的几率，最多只有条件
很大的一半概率，意味着
和
很接近的几率最多只有
很大这个条件的一半（因为从该图中得知
和
只可能变得小于
），即
很小的几率最多只有
很大这一几率的一半。换句话说
很大的几率至少是
很大这一几率的一半，用公式6-16表示其含义如下：
图6-8 
和
的分布
（公式6-16）
将公式6-16稍微调整一下就可以得到公式6-17。
（公式6-17）
从公式6-17到公式6-15多了一个更强的约束，因此从
变成了
。
第二步，分解假设空间的种类
其中
的可能性与样本D有关，而
与样本
有关，因此整个假设空间的种类可以写成
的个数，我们又从之前几章的内容得知，种类的个数并非无限多，其上限最大为成长函数
那，因此坏事情发生的概率如公式6-18所示。
（公式6-18）
第三步，使用无取回的霍夫丁。
还是用小球和罐子的那个例子解释，罐子中不再是无限多个小球，而是2N个小球，选择N个小球而留下另外N个，可以通过公式6-19得出如下结论。
（公式6-19）
这是一种无放回的霍夫丁，最终得到公式6-20。
（公式6-20）
至此说明了（不敢叫证明）一个在机器学习领域很著名的理论——V-C上界制（Vapnik-Chervonenkis bound）。
2维的感知器，其突破点为4，因此其成长函数为
，可以使用这个VC上界来说明在样本N足够大时候，发生坏事的情况很少，即选择一个在样本中错误率很小的g，可以得出其在整个数据上错误率也很低的结论，说明机器学习是可能的。
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