趣题——三类背包问题

引言

背包问题作为一个经典问题在动态规划中是很基础的一个部分，而以0-1背包问题为原题，衍生出来的各类题目千变万化，解法也不同。
本文以三道背包问题的变体着手讲解，希望能够做到触类旁通。

0-1背包

给定n件物品和一个背包。物品i的价值是Wi，体积为Vi，背包的容量为C。可以任意选择装入背包的物品，求装入背包中的物品最大总价值。（Vi，C均为正整数）

在选择装入背包的物品时，有这样一个隐性条件：对每件物品i来说，要么全都放入背包，要么不放。不能将物品i多次装入（有切仅有一个），也不能部分装入。因此该题为0-1背包问题。

在使用动态规划（DP）求解该题时，最重要的是找到转换方程。
W[i]:代表第i件物体的价值；
V[i]:代表第i件物体的体积；
令F[i][j]：代表在剩余空闲体积为j的条件下，处理第i个物体的情况。
其中有一个隐含的过程：即当考虑到第i个物体时，说明已经考虑完了第i-1，i-2，i-3,…,1个物品。即，不用再返回判断前面的物品情况。
因此整个转移方程应为：
若j < Vi，则F[i][j] = F[i-1][j].
否则，F[i][j] = Max{F[i-1][j],F[i-1][j-Vi]+W[i]}.

若对空间有所闲置，则由于F[i][j]只与F[i-1]有关，可以使用滚动数组的形式进行解答。

伪代码如下：

for i：=0 to n
    0 ->    F[i][0]
for j:=0 to C
    0 -> F[0][j]

for i:=1 to n
    for j:=0 to C
        if j < Vi
            F[i][j] = F[i-1][j]
        else
            F[i][j] = Max{F[i-1][j], F[i-1][j-Vi]+W[i] }
    END FOR
END FOR

最终结果为F[n][C]

完全背包

完全背包问题：给定n种物品和一个背包。第i种物品的价值是Wi，其体积为Vi，背包的容量为C，同一种物品的数量无限。可以任意选择装入背包的物品，求装入的最大价值。

思考一下与0-1背包问题的不同：仅为物品数量的闲置。现在可以选择同种物品的数量，那么根据之前的思路，F[i][j]应该为什么？
若j < Vi，则F[i][j] = F[i-1][j];
否则：F[i][j] = Max{F[i-1][j], F[i][j-Vi]+Wi}

值得注意的是，式中的黑体部分：F[i][j-Vi], 而不是如0-1问题中的 F[i-1][j-Vi],这是因为，0-1问题中，每个物品只能拿一次，当判断完第i-1个物品之后（不管拿还是没拿），这第i-1个物品就算过去了，因此F[i]跟且只跟F[i-1]有关。而本题中，由于第i个物品有无数个，因此可以无限的装（只要装得下），所以F[i][j]不跟F[i-1]有关了（当j>Vi的时候），而是同一个物品又装一个之前的状态有关，即跟F[i][j-Vi]有关，也因此导致了状态转移方程中的区别。

伪代码如下：

for i：=0 to n
    0 ->    F[i][0]
for j:=0 to C
    0 -> F[0][j]

for i:=1 to n
    for j:=0 to C
        if j < Vi
            F[i][j] = F[i-1][j]
        else
            F[i][j] = Max{F[i-1][j], F[i][j-Vi]+W[i] }
    END FOR
END FOR

最终结果为F[n][C]

多次背包*

多次背包问题：给定n种物品和一个背包。第i种物品的体积为Vi，价值为Wi，数量为Ki，背包的容量为C。可以任选装入背包，求装入背包的最大价值。

首先对于第i种物品，不能确定放入多少个是最优的，即最优解所需要的件数可能是0~Ki中的任何一个。
那么能否像完全背包去考虑呢？
完全背包中，当j>Vi时，转移方程为F[i][j] = Max{F[i-1][j], F[i][j-Vi]+Wi}
但是粗体部分是建立在第i个物品的数量是无限多的情况下，想拿多少就有多少的情况。
在本题中Ki是数量的上限，所以肯定不能使用上述方程。

但是类似的，我们可以对Ki中每增加一件物品i时进行一次计算，转移方程如下：
若j < Vi,F[i][j] = F[i-1][j]
否则，F[i][j] = Max{F[i-1][j], F[i][j-k*Vi]}（1<=k<=Ki & k*Vi<=j<=C)
但是，每次对k增加1似乎过于浪费，即在k到达Ki的过程中，不需要每次加1。可以证明，按照二进制的拆分能使件数达到最小，把Ki拆分成1,2,4，…，2^t,Ki-2^(t+1)+1 (2^(t+2)>Ki>=2^(t+1))

伪代码如下：

FOR i:=1 TO n
    1->m
    WHILE Ki>0
        IF m>Ki THEN Ki->m
        Ki-m->Ki
        FOR j:= C DOWNTO Vi*m
            MAX(F[i-1][j], F[i][j-Vi*m]+Wi*m)->F[i][j]
        END FOR
    m*2->m
    WEND
END FOR