[vijos P1919] 最有活力的鲜花

描述

m朵鲜花簇拥在田野间，其中有一束花只有一朵花瓣，有一束花有两朵花瓣，有一束花有三朵花瓣，如此下去，最后一朵花有m朵花瓣。
爱花的人，每次随机选一束鲜花，然后统计一下花瓣的个数。再随机一束。一共随机n次。一束花可能被随机到多次。选n次可以发现的花瓣最多的鲜花有多少花瓣。答案需要四舍五入保留到小数点后第四位。

分析

n = 6, m = 3

P1 <- 1 / (6^3)
P2 <- 2/6 * 2/6 * 2/6 - P1 // 三次均<=2，且一定有2
P3 <- 3/6 * 3/6 * 3/6 - P1 - P2 // 三次均<=3, 且一定有3 *排除三次中至少有2的概率和都是1的概率
P4 <- 4/6 * 4/6 * 4/6 - P1 - P2 - P3 // 同上
….

边计算记录下 P 的前缀和
迭代地求出 Pn

P <- (1*P1 + 2*P2 + … + n*Pn) / n

P1 = 1 / 4
P2 = 1 - 1/4 = 3 / 4

P = 1 * 1/4 + 2 * 3/4 = 7 / 4 = 1.7500
OK!

等等
P1 <- 1 / (6^3)
P2 <- 2/6 * 2/6 * 2/6 - P1 = (2/6) ^ 3 - P1
P3 <- 3/6 * 3/6 * 3/6 - P1 - P2 = (3/6) ^ 3 - P1 - (2/6)^3 + P1 = (3/6)^3 - (2/6)^3
P4 <- 4/6 * 4/6 * 4/6 - P1 - P2 - P3 = (4/6)^3 - P1 - (2/6)^3 + P1 - (3/6)^3 + (2/6)^3 = (4/6)^3 - (3/6)^3
….

==> Px <- (x/n)^m - [(x-1)/n]^m

意义也很明显, 表示最大为 x 的概率减去最大不超过 x-1 的概率.

代码

#include<cstdio>
using namespace std;

double pow(double a, int p) {
    if(p == 0) return 1.0;
    double ans = pow(a, (p>>1));
    ans *= ans;
    if(p % 2 == 1) ans *= a;
    return ans;
}

int main() {
    int m, n;
    double ans = 0.0000;
    scanf("%d%d", &m, &n);
    for(int x = 1; x <= m; x++) {
        ans += pow((double)x / m, n) * x;
        if(x > 1) ans -= pow((double)(x-1) / m, n) * x;
    }
    printf("%.4lf", ans);
    return 0;
}