Y combinator 的推导过程

最近在看《暗时间》，书中有Y组合子的推导过程，初看时很难理解，这里记录一下加深记忆，我们使用Scheme语言的语法。

我们知道Scheme中可以这样定义递归函数

(define (func n)
    (if (= n 0)
        1
        (* n (func (- n 1)))))

但是我们知道define这个函数只起到了一个语法糖的效果，再对应lambda表达式还未知的时候是不能使用这个函数。

接下来我们只通过使用lambda表达式来推导出递归函数。

我们先做一下尝试

(lambda (n)
    (if (= n 0)
        1
        (* n (<func-name> (- n 1)))))

注意到，我们的func-name处需要填入的这个函数的名字，但是我们现在并不知道这个函数的名字，为了在函数体中获得这个函数，我们增加一个参数（把这个需要的函数作为参数传入自身中）

(lambda (self n)
    (if (= n 0)
        1
        (* n (self self (- n 1)))))

现在我们得到的这个函数已经可以产生递归了，为了看起来更加清晰，我们把这个函数体缩写成单个字母P表示

(P P 5)

可以得到值120。

接下来我们继续引入一个概念叫做“不动点原理“，我们先回到存在func-name的第二段代码中，假设存在这样一个完美的函数（即不需要把自身作为参数传入），我们把他记为perfect。

并修改P为

(lambda (self n)
    (if (= n 0)
        1
        (* n (self (- n 1)))))

此时注意下面两个式子

(P perfect 5)
(P P 5)

显然第一个调用是可以求出值，而第二个调用是存在问题的，因为展开后的第二此调用P只传入了一个参数4。
接下来我们修改一下第一个调用

(P perfect)

想一想这是什么东西？一个还需要一个参数的函数！正规一点说就是”函数的部分求值”。
为了更清楚的看看这个新函数是怎么回事，我们把他展开来看看：

(lambda (n)
    (if (= n 0)
        1
        (* n (perfect (- n 1)))))

这正是我们在第一段代码递归中的函数体。
因此我们可以得到这样一个等式
(P perfect) == perfect
现在不动点这个概念就可以下定义了，此时perfect称为函数P的不动点。

好了，我们现在回到一开始，记住perfect这个完美的递归函数是我们假设出来的，接下来我们要做的就是在已经知道函数P的情况下找到这个perfect，我们引入一个函数叫Y，Y函数有这样一个作用：

(Y P) == perfect

即把函数P作为Y的参数后可以得到对应于P的完美的递归函数perfect。

为了得到这样的函数Y，我们看下面的这个函数magic：

(lambda (self)
    (P (self self)))

我们调用

(magic magic)

就变成了

(P (magic magic))

所以(magic magic)就是P的不动点。
注意我们的目的仍然是构造Y，Y的功能是把magic函数体中的P变成参数，并返回(magic magic)

(lambda (P)
    (magic magic))

展开来也就是

(lambda (P)
    ((lambda (self)
        (P (self self)))
      (lambda (self)
          (P (self self))))

好了，上面这个东西就是我们的函数Y，这样传入任何类似P的“假冒的递归“函数时，都可以得到对应完美的递归函数了。