BZOJ 3157 国王奇遇记 & BZOJ 3516 国王奇遇记加强版

题目：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3157

题意：求$\sum_{i = 1}^n{i ^ m * m ^ i}\;mod\;10^9+7$。$n\leq10^9, m\leq1000$。

题解：
若$m=1$，显然答案为$\frac{n*(n+1)}{2}$。
否则令$S_k = \sum_{i = 1}^n{i ^ k * m ^ i}$。
显然$S_0 = \sum_{i = 1}^n{m ^ i} = \frac{m ^ {n + 1} - m}{m - 1}$。
考虑$S_k$：
$(m - 1) * S_k = \sum_{i = 1}^n{i ^ k * m ^ {i + 1}} - \sum_{i = 1}^n{i ^ k * m ^ i} \\ = \sum_{i = 1}^{n + 1}{(i - 1) ^ k * m ^ {i + 1}} - \sum_{i = 1}^n{i ^ k * m ^ i} \\ = n ^ k * m ^ {n + 1} + \sum_{i = 1}^n{((i - 1) ^ k - i ^ k) * m ^ i} \\ = n ^ k * m ^ {n + 1} + \sum_{i = 1}^n{\sum_{j = 0}^{k - 1}{(-1) ^ {k - j} * \binom{k}{j} * i ^ j} * m ^ i} \\ = n ^ k * m ^ {n + 1} + \sum_{j = 0}^{k - 1}{(-1) ^ {k - j} * \binom{k}{j} * \sum_{i = 1}^n{i ^ j * m ^ i}} \\ = n ^ k * m ^ {n + 1} + \sum_{j = 0}^{k - 1}{(-1) ^ {k - j} * \binom{k}{j} * S_j}$
因为$10^9+7$是质数，所以$(m-1,10^9+7)=1$，有逆元，可以快速计算$S_m \; mod \; 10^9+7$，时间复杂度$O(m^2logn)$。

代码：

#include <cstdio>
typedef long long LL;
const int mod = 1000000007, maxm = 1001;
int n, m, c[maxm][maxm], s[maxm];
inline int pow(int x, int k)
{
    int ret = 1;
    while(k)
    {
        if(k & 1) ret = (LL)ret * x % mod;
        x = (LL)x * x % mod;
        k >>= 1;
    }
    return ret;
}
int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    if(m == 1)
    {
        printf("%d\n", ((LL)n * (n + 1) / 2) % mod);
        return 0;
    }
    for(int i = 1; i <= m; ++i)
    {
        c[i][0] = c[i][i] = 1;
        for(int j = 1; j < i; ++j)
        {
            c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + c[i - 1][j];
            if(c[i][j] >= mod) c[i][j] -= mod;
        }
    }
    int inv = pow(m - 1, mod - 2);
    s[0] = ((LL)pow(m, n + 1) - m + mod) * inv % mod;
    for(int i = 1; i <= m; ++i)
    {
        s[i] = (LL)pow(n, i) * pow(m, n + 1) % mod;
        for(int j = 0; j < i; ++j)
        {
            s[i] = (s[i] + ((i - j) & 1 ? -1 : 1) * (LL)c[i][j] * s[j]) % mod;
            if(s[i] < 0) s[i] += mod; 
        }
        s[i] = (LL)s[i] * inv % mod;
    }
    printf("%d\n", s[m]);
    return 0;
}