[问题2014S13] 解答

时间：2014-06-02 21:40:36 阅读：254 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

[问题2014S13] 解答

(1) 先证必要性：若 $A=LU$ 是非异阵 $A$ 的 $LU$ 分解，则 $L$ 是主对角元全部等于 1 的下三角阵， $U$ 是主对角元全部非零的上三角阵. 由 Cauchy-Binet 公式知

$|A_k|=|L_k|\cdot|U_k|=|U_k|\neq 0,\,\,k=1,2,\cdots,n,$ 其中

$|A_k|,|L_k|,|U_k|$ 分别表示

$A,L,U$ 的第

$k$ 个顺序主子式.

再证充分性以及分解的唯一性：我们对 $A$ 的阶数 $n$ 进行归纳. $n=1$ 时, 结论显然成立. 设阶数 $<n$ 时, 结论成立. 注意到 $A$ 的第 $n-1$ 个顺序主子阵 $A_{n-1}$ 满足条件: 它的 $n-1$ 个顺序主子式全部非零，故由归纳假设， $A_{n-1}$ 存在唯一的 $LU$ 分解：

$A_{n-1}=L_{n-1}U_{n-1},$ 其中

$L_{n-1}$ 是主对角元全部等于 1 的

$n-1$ 阶下三角阵，

$U_{n-1}$ 是主对角元全部非零的

$n-1$ 阶上三角阵. 设

$A=\begin{bmatrix} A_{n-1} & \alpha \\ \beta‘ & a_{nn} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} L_{n-1} & 0 \\ x‘ & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} U_{n-1} & y \\ 0 & z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} L_{n-1}U_{n-1} & L_{n-1}y \\ x‘U_{n-1} & x‘y+z \end{bmatrix},$ 其中

$\alpha,\beta,x,y$ 为

$n-1$ 维列向量,

$z$ 为数. 由此可得：

$\alpha=L_{n-1}y,\,\, \beta‘=x‘U_{n-1},\,\,a_{nn}=x‘y+z.$ 因为

$L_{n-1},U_{n-1}$ 为非异阵, 由上式可唯一解得：

$y=L_{n-1}^{-1}\alpha,\,\,x‘=\beta‘U_{n-1}^{-1},\,\,z=a_{nn}-\beta‘U_{n-1}^{-1}L_{n-1}^{-1}\alpha=a_{nn}-\beta‘A_{n-1}^{-1}\alpha.$ 令

$L=\begin{bmatrix} L_{n-1} & 0 \\ \beta‘U_{n-1}^{-1} & 1 \end{bmatrix},\,\,U=\begin{bmatrix} U_{n-1} & L_{n-1}^{-1}\alpha \\ 0 & a_{nn}-\beta‘A_{n-1}^{-1}\alpha \end{bmatrix},$ 则

$A=LU$ 即为

$A$ 的唯一的

$LU$ 分解.

(2) 我们对 $A$ 的阶数 $n$ 进行归纳，来证明 Cholesky 分解的存在性和唯一性. $n=1$ 时, 结论显然成立. 设阶数 $<n$ 时, 结论成立. 注意到 $A$ 的第 $n-1$ 个顺序主子阵 $A_{n-1}$ 也是正定实对称阵, 故由归纳假设， $A_{n-1}$ 存在唯一的 Cholesky 分解：

$A_{n-1}=C_{n-1}‘C_{n-1},$ 其中

$C_{n-1}$ 是主对角元全大于零的

$n-1$ 阶上三角阵. 设

$A=\begin{bmatrix} A_{n-1} & \alpha \\ \alpha‘ & a_{nn} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} C‘_{n-1} & 0 \\ x‘ & y \end{bmatrix}\begin{bmatrix} C_{n-1} & x \\ 0 & y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} C_{n-1}‘C_{n-1} & C_{n-1}‘x \\ x‘C_{n-1} & x‘x+y^2 \end{bmatrix},$ 其中

$\alpha,\beta,x$ 为

$n-1$ 维列向量,

$y$ 为数. 由此可得：

$\alpha=C_{n-1}‘x,\,\,a_{nn}=x‘x+y^2.$ 由上式可唯一解得：

$x=(C_{n-1}‘)^{-1}\alpha,$

$y^2=a_{nn}-\alpha‘C_{n-1}^{-1}(C_{n-1}‘)^{-1}\alpha=a_{nn}-\alpha‘A_{n-1}^{-1}\alpha=\frac{|A|}{|A_{n-1}|}>0,\,\,y=\sqrt{\frac{|A|}{|A_{n-1}|}}.$ 令

$C=\begin{bmatrix} C_{n-1} & (C_{n-1}‘)^{-1}\alpha \\ 0 & \sqrt{\frac{|A|}{|A_{n-1}|}} \end{bmatrix},$ 则

$A=C‘C$ 即为

$A$ 的唯一的 Cholesky 分解.

$\Box$

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