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$\bf(Lusin定理)$设$f\left( x \right)$是可测集$E$上几乎处处有限的可测函数，
则对任给$\delta > 0$，存在闭集$F \subset E$，使得$m\left( {E\backslash F}
\right) < \delta $，且$f\left( x \right)$在$F$上连续
$\bf证明$ 由于$m\left( {E\left( {\left| f \right| = + \infty }
\right)} \right) = 0$，我们不妨设$f\left( x \right)$是处处有限的
$\bf(1)$首先，我们考虑$f\left( x \right)$是简单函数的情况，于是
f(x)=∑
i=1nciχEi(x),x∈E=?i=1nEi
由于每个${E_i}$是可测的，则对任给$\delta > 0$，存在闭集${F_i} \subset {E_i}$，使得
又由于$f\left( x \right)$在每个${F_i}$上是常值函数，从而在${F_i}$上连续；而${F_1}, \cdots
,{F_n}$互不相交，令
则闭集$F \subset E$，使得$m\left( {E\backslash F} \right) = \sum\limits_{i = 1}^n
{m\left( {{E_i}\backslash {F_i}} \right)} < \delta $，且$f\left( x
\right)$在$F$上连续
$\bf(2)$其次，我们考虑$f\left( x \right)$是一般可测函数的情况，由于可作变换
因此我们不妨设$f\left( x \right)$是有界可测函数，于是存在可测的简单函数列$\left\{ {{\varphi _k}\left( x
\right)} \right\}$在$E$上一致收敛于$f\left( x \right)$，从而由$\bf(1)$知，对任给$\delta
> 0$，存在闭集${F_k} \subset {E}$，使得$m\left( {E\backslash {F_k}} \right)
< \frac{\delta }{{{2^k}}}$，且${{\varphi _k}\left( x \right)}$在${F_k}
$上连续，令
则${F }$为闭集，且
m(E?F)=m(E??k=1∞Fk)=m(?k=1∞(E?Fk))≤∑k=1∞m(E?Fk) <δ
由于${{\varphi _k}\left( x \right)}$在${F }$上连续，且一致收敛于$f\left( x
\right)$，所以$f\left( x \right)$在${F }$连续
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原文地址：http://www.cnblogs.com/ly758241/p/3762711.html
