整数划分问题（递归法 或 母函数法 ）

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数据量不大，递归算法实现：

 1 #include <stdio.h>
 2 #include <string.h>
 3 #include <stdlib.h>
 4 #include <algorithm>
 5 
 6 using namespace std;
 7 
 8 unsigned long  GetPartitionCount(int n, int max)
 9 {
10     if (n == 1 || max == 1)
11         return 1;
12     else if (n < max)
13         return GetPartitionCount(n, n);
14     else if (n == max)
15         return 1 + GetPartitionCount(n, max-1);
16     else
17         return GetPartitionCount(n,max-1) + GetPartitionCount(n-max, max);
18 }
19 
20 int main()
21 {
22     int n, m;
23     long ans;
24     while(scanf("%d %d", &n, &m)!=EOF)
25     {
26         ans = GetPartitionCount(n, m);
27         printf("%ld\n", ans );
28     }
29     return 0;
30 }

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递归算法分析： （剪辑地址：http://www.cnblogs.com/hoodlum1980/archive/2008/10/11/1308493.html）

根据n和m的关系，考虑以下几种情况： 

       （1）当 n = 1 时，不论m的值为多少（m > 0 )，只有一种划分即 { 1 };

        (2)  当 m = 1 时，不论n的值为多少，只有一种划分即 n 个 1，{ 1, 1, 1, ..., 1 };

        (3)  当 n = m 时，根据划分中是否包含 n，可以分为两种情况：

              (a). 划分中包含n的情况，只有一个即 { n }；

              (b). 划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比 n 小，即 n 的所有 ( n - 1 ) 划分。

              因此 f(n, n) = 1 + f(n, n-1);

        (4) 当 n < m 时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于 f(n, n);

        (5) 但 n > m 时，根据划分中是否包含最大值 m，可以分为两种情况：

               (a). 划分中包含 m 的情况，即 { m, { x1, x2, ..., xi } }, 其中 { x1, x2, ..., xi } 的和为 n - m，可能再次出现 m，因此是（n - m）的 m 划分，因此这种划分

                     个数为 f(n-m, m);

               (b). 划分中不包含 m 的情况，则划分中所有值都比 m 小，即 n 的 ( m - 1 ) 划分，个数为 f(n, m - 1);

              因此 f(n, m) = f(n - m, m) + f(n, m - 1);

         综合以上情况，我们可以看出，上面的结论具有递归定义特征，其中（1）和（2）属于回归条件，（3）和（4）属于特殊情况，将会转换为情况（5）。而情况 （5）为通用情况，属于递推的方法，其本质主要是通过减小m以达到回归条件，从而解决问题。其递推表达式如下：

         f(n, m) =      1;                                        ( n = 1 or m = 1 )

                            f(n, n);                                 ( n < m )

                            1+ f(n, m - 1);                      ( n = m )

                            f(n - m, m) + f(n, m - 1);       ( n > m )