机器学习方法（一）：线性回归Linear regression

开一个机器学习方法科普系列，也做基础回顾之用。学而时习之。
content:
linear regression, Ridge, Lasso
Logistic Regression, Softmax
Kmeans, GMM, EM, Spectral Clustering
Dimensionality Reduction: PCA、LDA、Laplacian Eigenmap、 LLE、 Isomap（修改前面的blog）
SVM
C3、C4.5
Apriori，FP
PageRank
minHash, LSH
Manifold Ranking，EMR
待补充
…
…

开始几篇将详细介绍一下线性回归linear regression，以及加上L1和L2的正则的变化。后面的文章将介绍逻辑回归logistic regression，以及Softmax regression。为什么要先讲这几个方法呢？因为它们是机器学习/深度学习的基石（building block）之一，而且在大量教学视频和教材中反复被提到，所以我也记录一下自己的理解，方便以后翻阅。这三个方法都是有监督的学习方法，线性回归是回归算法，而逻辑回归和softmax本质上是分类算法（从离散的分类目标导出），不过有一些场合下也有混着用的——如果目标输出值的取值范围和logistic的输出取值范围一致。

ok，废话不多说。

1、Linear Regression

可以说基本上是机器学习中最简单的模型了，但是实际上其地位很重要（计算简单、效果不错，在很多其他算法中也可以看到用LR作为一部分）。

定义一下一些符号表达，我们通常习惯用$X=(x_1, x_2, ...,x_n)^T \in \mathbb{R}^{n\times p}$表示数据矩阵，其中$x_i \in \mathbb{R}^p$表示一个p维度长的数据样本；$y=(y_1, y_2, ...,y_n)^T \in \mathbb{R}^{n}$表示数据的label，这里只考虑每个样本一类的情况。

线性回归的模型是这样的，对于一个样本$x_i$，它的输出值是其特征的线性组合：

$$\begin{equation} f(x_i) = \sum_{m=1}^{p}w_m x_{im}+w_0={w}^T{x_i} \end{equation}$$
其中，$w_0$称为截距，或者bias，上式中通过增加$x_{i0}=1$把$w_0$也吸收到向量表达中了，简化了形式，因此实际上$x_i$有$p+1$维度。

线性回归的目标是用预测结果尽可能地拟合目标label，用最常见的Least square作为loss function：

$$\begin{equation} J(w)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i - f(x_i))^2=\frac{1}{n}\|y-Xw\|^2 \end{equation}$$
也就是很多中文教材中提到的最小二乘；线性回归是convex的目标函数，并且有解析解：
$$\begin{equation} \hat{w}=(X^{T}X)^{-1}X^{T}y \end{equation}$$
线性回归到这里就训练完成了，对每一个样本点的预测值是$f(x_i)=\hat{y_i}=\hat{w}^{T}x_i$。所以：
$$\begin{equation} \hat{y} = X\hat{w} = X(X^{T}X)^{-1}X^{T}y \end{equation}$$

接下来看一下我们寻找到的预测值的一个几何解释：从上面的解析解$\hat{w}=(X^{T}X)^{-1}X^{T}y$可以得到$X^T(\hat{y}-y)=0$，因此实际上$\hat{y}$是$y$在平面$X$（由列向量$\textbf{x}_1$和$\textbf{x}_2$张成，假设只有两维）上的投影。

ok，一般介绍线性回归的文章到这里也就结束了，因为实际使用中基本就是用到上面的结果，解析解计算简单而且是最优解；当然如果求逆不好求的话就可以不用解析解，而是通过梯度下降等优化方法来求最优解，梯度下降的内容不在本篇中，后面讲逻辑回归会说到。也可以看我前面写的今天开始学PRML第5章中有写到，或者直接翻阅wikipedia:gradient descent。

不过在这里我再稍微提几个相关的分析，可以参考ESL[3]的第3章中的内容。前面我们对数据本身的分布是没有任何假设的，本节下面一小段我们假设观察值$y_i$都是不相关的，并且方差都是$\sigma^2$，并且样本点是已知（且是中心化过了的，均值为0）的。于是我们可以推出协方差矩阵

$$\begin{equation} Var(\hat{\beta}) = (X^{T}X)^{-1}\sigma^2 \end{equation}$$

证明：

$$\begin{equation} Var(\hat{\beta}) = (X^{T}X)^{-1}X^{T}yy^{t}X(X^{T}X)^{-1}=(X^{T}X)^{-1}\sigma^2 \end{equation}$$

要估计方差$\sigma^2$，可以用

$$\begin{equation} \hat{\sigma}^2=\frac{1}{n-p-1}\sum_{ i=1}^{n}(y_i-\hat{y}_i)^2 \end{equation}$$
这里和一般的方差的形式看起来不同，分母是$n-p-1$而不是$n$，是因为这样的估计才是$\sigma^2$的无偏估计。
证明：

$$\begin{equation} \begin{array}{cc} E(\hat{\sigma}^2)=E(\frac{1}{n-p-1}\sum_{ i=1}^{n}(y_i-\hat{y}_i)^2)\=E(\frac{1}{n-p-1}[y-X(X^{T}X)^{-1}X^{T}y]^T[y-X(X^{T}X)^{-1}X^{T}y]）\=E(\frac{1}{n-p-1}y^T[I_{n}-X(X^{T}X)^{-1}X^{T}]y）\=\frac{n\sigma^2}{n-p-1}-\frac{1}{n-p-1}\text{tr}(X(X^TX)^{-1}X^Tyy^T) \=\frac{n\sigma^2}{n-p-1}-\frac{\sigma^2}{n-p-1}\text{tr}(X(X^TX)^{-1}X^T) \=\frac{n\sigma^2}{n-p-1}-\frac{(p+1)\sigma^2}{n-p-1} \=\sigma^2\\end{array} \end{equation}$$

好，第一篇就写到这里。这个系列是从0开始的基础复习记录，力求清晰易懂。下一篇lasso和ridge regression。

参考资料
[1]http://freemind.pluskid.org/machine-learning/sparsity-and-some-basics-of-l1-regularization/
[2]http://www.cnblogs.com/LeftNotEasy/archive/2010/12/05/mathmatic_in_machine_learning_1_regression_and_gradient_descent.html
[3]The Elements of Statistical Learning，ch3