序

最近在看自然语言处理方面的书籍，也写写相关的读书笔记吧
英语单词拼写是文字录入，编辑，出版等工作中的一项重要任务。实现单词拼写检测的方法很多，我这里就暂时写2个，第一个是在《统计自然语言处理》书中的 K.Oflazer用有限自动机写的，第二个是在网上看见的一个20几行python代码写的《How to Write a Spelling Corrector》

自动机法

基于优先自动机的识别器，可以看成由所有正确的单词构成的一个有向图：

每个正确的单词都是一条由起始位置(q0)到一个蓝色节点的一条路径，路径上的所有弧组合起来就是该单词。
现在，我们需要作的是：对于一个输入的单词，找出编辑距离（网上这方面的文章很多）小于t的所有路径。如果使用穷举法，是可以做到的。但是为了提高搜索速度，我们必须要尽早的把那些编辑距离超过给定阀值的路劲剪枝。

剪除距离

设Y是一个候选的字符串（拼写正确），长度为n
设X是出错的字符串，长度为m
我们确定2个边界，一个是n-t,一个是n+t
为什么确定这2个边界呢？对于长度小于n-t的X子串，至少需要大于t次插入操作，对于长度大于n+t的X的子串，需要大于t次的删除操作，以上2种情况都不符合要求。
考虑2个字符串的长度，把边界定义为 $l=max(1,n-t),u=min(m,n+t)$
所以，我们得出剪除距离为：$cuted(X,Y)=min (ed(X[i],Y)), l \le i \le u$
其中$ed(X[i],Y)$表示X前i个字符组合的子字符串与x的编辑距离

拿书上的例子说明下：

因此，可以通过稍微修改图的深度优先搜索算法来实现Y的生成过程，算法描述如下：

伪代码

/*将一个空字符串和初始结点压栈*/
push((ε,q_0));      
while stack!=NULL{
    /*从栈顶弹出一个部分字符串Y‘和状态节点，第一次执行的时候，弹出的初始节点q_0*/
    pop((Y‘,q_i));  
    /*找出该节点的下一条弧，弧上的字母记为a*/
    for q_j,δ(q_i,a)=q_j{
        /*扩展候选串，把字符a连接到Y‘*/
        Y=concat(Y‘,a);
        /*保证满足剪除距离*/
        if(cuted(X,Y)<=t)
            push((Y,q_j));
        /*找到一个候选字符串*/
        if(ed(X,Y)<=t and q_j=Final)
            output(Y)
    }
}

该算法的还有一个关键的地方，因为每次扩展候选字符串的时候，都要计算剪除距离，所以，通过构造一个mxn的H矩阵，从而可以快速的计算出剪除距离。H矩阵的元素$h_{ij}=ed(X[i],Y[j])$,我们在计算编辑距离的时候，也是构造一个矩阵，并且$h_{i+1,j+1}$的计算，只依赖于$h_{i,j},h_{i,j+1},h_{i+1,j}$三项，所以，在深度优先搜索过程中，只有候选字符串长度达到n的时候，H矩阵的第n列才会被重新计算，在回溯过程中，最后一列的项也会丢弃，但是前面列中的数据任然有效。这样，在计算$h_{i+1,j+1}$的时候，只用计算$h_{i,j+1}$

How to Write a Spelling Corrector

原文地址http://www.norvig.com/spell-correct.html

先贴代码感受一下

import re, collections

def words(text): return re.findall(‘[a-z]+‘, text.lower()) 

def train(features):
    model = collections.defaultdict(lambda: 1)
    for f in features:
        model[f] += 1
    return model

NWORDS = train(words(file(‘big.txt‘).read()))

alphabet = ‘abcdefghijklmnopqrstuvwxyz‘

def edits1(word):
   splits     = [(word[:i], word[i:]) for i in range(len(word) + 1)]
   deletes    = [a + b[1:] for a, b in splits if b]
   transposes = [a + b[1] + b[0] + b[2:] for a, b in splits if len(b)>1]
   replaces   = [a + c + b[1:] for a, b in splits for c in alphabet if b]
   inserts    = [a + c + b     for a, b in splits for c in alphabet]
   return set(deletes + transposes + replaces + inserts)

def known_edits2(word):
    return set(e2 for e1 in edits1(word) for e2 in edits1(e1) if e2 in NWORDS)

def known(words): return set(w for w in words if w in NWORDS)

def correct(word):
    candidates = known([word]) or known(edits1(word)) or known_edits2(word) or [word]
    return max(candidates, key=NWORDS.get)

分析

NWORDS = train(words(file(‘big.txt’).read()))
big.txt 类似于语料库，统计每个单词出现的数量，通过这个数量来判断某个单词是否是常用单词，并生成一个字典NWORDS

def edits1(word):
splits = [(word[:i], word[i:]) for i in range(len(word) + 1)]
deletes = [a + b[1:] for a, b in splits if b]
transposes = [a + b[1] + b[0] + b[2:] for a, b in splits if len(b)>1]
replaces = [a + c + b[1:] for a, b in splits for c in alphabet if b]
inserts = [a + c + b for a, b in splits for c in alphabet]
return set(deletes + transposes + replaces + inserts)

给定一个单词，找出所有编辑距离为1的单词。
如果一个单词的长度为n，那么通过删除一个字符生成n-1个单词，通过改变相邻位置，生成n-1个单词，通过改变一个字符，生成26n个单词，通过插入有26(n+1)个单词，所有总共有生成54n+25

def known_edits2(word):
return set(e2 for e1 in edits1(word) for e2 in edits1(e1) if e2 in NWORDS)
找出一个单词的编辑距离为2的单词，并且这个单词在字典NWORDS出现过。

def correct(word):
candidates = known([word]) or known(edits1(word)) or known_edits2(word) or [word]
return max(candidates, key=NWORDS.get)

判断的一个单词的正确性，如果这个单词在字典中出现过，那么认为是正确的，
如果不是正确的，则返回编辑距离最短，如果编辑距离一样，则返回在字典中出现次数最多的

原理

如果我们用c表示在字典中出现过的正确单词，用w表示待检测的单词
那么目标为

按照作者的意思，P(c)可以理解为一个单词出现的频率，可以用字典中，c出现的次数来等价表示
P(w|c) 是一个人写w的时候，他本来是打算是写c的概率（he probability that w would be typed in a text when the author meant c)，通过这个 程序来看，也就是编辑距离

然后作者也说明了，为什么计算到编辑距离2就可以了，因为他通过实验得出，当只计算编辑距离为1的时候，只有 76% 的正确率，当编辑距离为2的时候，提升到 98.9%。